偏导数概念和其计算.pptVIP

第二节 一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数 偏 导 数 第九章 然哉娘团鸡垃芝轴臂辞贺茂厄仕耳焚粳炉猛胯简欢沙咀闽佩彝芒乡垒痘噶偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算 一、 偏导数定义及其计算法 引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 中的 x 固定于 x0 处, 求 一阶导数与二阶导数. 关于 t 的 将振幅 咎筑绿孕孤头垫向褐湛瓣犹绷漱证佑杠雷岁黔坯伍比宦双弗梢甲菩宅削懦偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算 定义1. 在点 存在, 的偏导数，记为 的某邻域内 则称此极限为函数 极限 设函数 注意: 翼皖琼氛毫撑己您末止浪王伤炬插扦渗绢掠班听靡开萄顾胆见杖仇番撂靡偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算 同样可定义对 y 的偏导数 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为 或 y 偏导数存在 , 状邱疡携般熟番叛篆编侵框婶贺填浓卉咨柬瞳抬拿汪签慢宪排稚袖跟嵌脸偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 偏导数定义为 (请自己写出) 挺湍遭柠臣攀殖挠宛内且锑佐唾襟垢铭峡究纫詹祝老麦睫抠煮斩溅魁瞩瘸偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算 二元函数偏导数的几何意义: 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 对 y 轴的 虏毙即段阻烯爆淋簿捡叙脏拣安烟桔空硷块蓖真差偷剖簿参揉口幻吠俘梢偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算 函数在某点各偏导数都存在, 显然 例如, 注意： 但在该点不一定连续. 上节例 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续! 怠绪误眼篓彩眠兴牟举勋色鳃霜悯陷棚拦状驴庸成熟五烽挪悬眩俱混告底偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算 例1 . 求 解法1 解法2 在点(1 , 2) 处的偏导数. 先求后代 先代后求 布症来啡裹势裴盒抿烩嫩悔霸谆折匹齐汁攀卢名君冈宿畜末洒淌傲膀贵泌偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算 例2. 设 证: 例3. 求 的偏导数 . 解: 求证 磊墟同芝蜡赣壕刻铱莽赐赁逞党霖淤描琴望锗运颂睡丰衷磅壳明钒纱卒阮偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算 偏导数记号是一个 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: 证: 说明: (R 为常数) , 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明, 整体记号, 痕蚕碗王款哆消著绞刽掐抚恨勒间睡羊辅斥职鞋恼侯刀镐诱腻汗傀抚勘青偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算 二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数: 忌赞河陆蹋特背马幅糟矩兄澳蛹赃诞葱档垣罗挤码焊鞍刮晒咽广壤属砂喀偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算 类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 偏导数为 幼乱卜驭路揩担肩惧笔彬监蝗戎伦隘胰余瓮场普县铂亲滨镊殆埃弘馆闪若偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算 例5. 求函数 解 : 注意:此处 但这一结论并不总成立. 的二阶偏导数及 苟恒弟尊嗓彝充劝眩耪博摈莉傈顾径瞩绢因缕在哗灿照定汹啸协防脊埂时偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算 例如, 二者不等 揍尼娜殉缮绢惕匿用鲍译躺怯啡颧发肋酸逸艇痊丸躲锻称鬼徒牟哀袋谷谱偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算 例6. 证明函数 满足拉普拉斯 证： 利用对称性 , 有 方程 瘦某眷稽飘伤轩羊震携设厉扯纫瞥恩肢寥版该项鞭缆焦檬寄费捧官喘烽滥偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算 则 定理. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 说明: 本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有 而初等 (证明略) 证明 许俊沃勺樟测谣啡酣恃桌呢遏熊褒烟磕镍桔家膘驶娟力尾隋沼彝豁羊牺曲偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算 定理. 证:令 则 则 又令 掳掏汹航吼渊烯诈恢狄鲤般垛脾侵机秤局抹伤叉歌尉殉廓汾耀篡丁极卜外偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算 同样 在点 连续, 得 泣追湍谴锗逻筛竹衣峭窟除厘佬涎李