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导数的概念及运算 一、重点难点分析： 1 ．导数的定义、意义与性质： （1 ）函数的导数：对于函数 f(x) ，当自变量 x 在 x0 处有增量 Δx ，则函数 y 相应地有改变量 Δy=f(x 0+ Δx)-f (x 0 ) ，这两个增量的比 叫做函数 y=f(x) 在 x0 到 x0+ Δx 之间的平均变化率， 即 。如果当 Δx →0 时， 有极限，我们说函数在 x0 处可导， 并把这个极限叫做 f(x) 在 x 0 处的导数（或变化率）。记作 f(x 0 ) 或 ，即 。 （2 ）导函数：如果函数 y=f(x) 在开区间 (a,b) 内每一点处可导，这时，对于开区间 (a,b) 内的 每一个值 x0 ，都对应着一个确定的导数 f(x 0)，这样就在开区间 (a,b) 内构成一个新的函数，我们 把这一新函数叫做 f(x) 在区间内的导函数，记作 f(x) 或 y ，即 。 （3 ）可导与连续的关系：如果函数 y=f(x) 在点 x0 处可导，那么函数 y=f(x) 在点 x0 处连续。 （4）导数的几何意义：过曲线 y=f(x) 上任意一点 (x,y) 的切线的斜率就是 f(x) 在 x 处的导数， 即 。也就是说，曲线 y=f(x) 在点 P(x ，f(x )) 0 0 处的切线的斜率是 f (x ) ，切线方程为 y-y =f(x )(x-x ) 。 0 0 0 0 2 ．求导数的方法： （1）求函数 y=f(x) 在 x0 处导数的步骤： ① 求函数的增量 Δy=f(x 0+ Δx)-f(x 0) ② 求平均变化率 ③ 取极限，得导数 。 （2 ）几种常见函数的导数公式： ① C=0(C 为常数 )； ② (x n)=nx n-1 (n ∈Q) ； ③ (sinx)=cosx ； ④ (cosx)=-sinx ； ⑤ (ex )=ex ； ⑥ (ax x )=a lna ⑦ ； ⑧ （3 ）导数的四则运算法则： ① (u ±v)=u ±v ② (uv)=uv+uv ③ （4 ）复合函数的导数 复合函数对自变量的导数， 等于已知函数对中间变量的导数， 乘以中间变量对自变量的导数。 说明： 1 ．函数的导数实质是一个极限问题，不应理解为平均变化率，而是平均变化率的极限。 2 ．求函数的导数要熟练掌握求导公式，特别是复合函数的导数要学会合理地分析 3 ．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线，加速度等问题打下理论基础。 二、 典型例题： 例 1．求下列函数的导数 ① y=(2x-3) 5 ② ③ ④ y=sin 32x 解析： ① 设 u=2x-3 ，则 y=(2x-3) 5 分解为 y=u 5 ， u=2x-3 由复合函