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数形结合百般好，隔裂分家万事非 鹤壁市外国语中学 张德胜 邮编 458030 手机 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们 在一定条件下可以相互转化。 中学数学研究的对象可分为数与形两大 部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。 作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情 形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性， 或者借助形的几何 直观性来阐明数量间的某种关系， 即数形结合包括两个方面： 第一种 情形是“以数解形” ，而第二种情形是“以形助数” 。 我国著名数学家华罗庚曾说过： “数形结合百般好，隔裂分家万 事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合，主要 指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语 言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助 数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂 问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 然而，在实际应用中，很多人往往把“数形结合”简单化，认 为“数形结合”就是“画图”解题。而由于图形的不精确性，造成结 果错误，下面就是一个比较典型的例子（选自王朝银主编《创新设计 （2012 高考总复习）》理科数学第 217 页第 9 题。）： 若函数 y=f(x)( x ∈R)满足 f(x+2)=f(x) ，且 x ∈(-1,1]时，f(x)=1-x 2 ， lg | x |(x 0) 函数 g(x)= ，则 h(x)=f(x)-g(x) 在区间 [-5,10] 上零点的个数为 1 (x 0) （ ） A ．12 B ．14 C．13 D ．8 其解答如下： 如下图，当 x ∈[0,5] 时，结合图像知， f(x) 与 g(x) 共有 5 个交 点，故在区间 [-5,0] 上共有 5 个交点，当 x ∈(0,10] 时，结合图像知， f(x) 与 g(x) 共有 9 个交点，故函数 h(x)=f(x)-g(x) 在区间 [-5,10] 上共有 14 个交点。 y -1 O 1 3 5 7 9 11 x 然而，这一解答是错误的，我们看上图中两函数图像的最后一 个公共点 (10,1)，考虑这样一个问题：这个点是切点还是交点？ 如果是切点， 那么函数 h(x) 在此处应当取得极值； 如果是交点， 那么 f(x) 与 g(x) 的图像在点 (10,1)附近还应该有一个交点。 为此，我们作如下探讨： 由已知可救出 x ∈[9,11] 时， h(x)=1-(x-10) 2-lgx 1 求导得： h (x) 2 x 20 lg e x 1 由 h (x) ＝0 解得 x 5 25 lg e 9.978 2 或 x 5 25 1 lg e 0.022 （舍去） 2 因此 x=9.978 是 h(x) 的一个极值点，计算得： h(9.978) ≈1-0.000484-0.999043=0.0004730