数列函数中的放缩法与构造法-福清一中.DOCVIP

高考压轴题中的放缩法与构造法 （数列与不等式、函数与不等式） 总的来说，高考中与不等式有关的大题（主要是证明题）一般常用均值不等式、构造函数后用导数工具、裂项相消等常见放缩法来解决．证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材这类问题的求解策略往往是通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 的值；（2）求证：． 【解析】 （1）∵，∴． （2）∵，∴． 【常用放缩技巧】 （1）； （2）； （3）（）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9），； （10）； （11）； （12）（）； （13） ； （14）； （15）； （16）（）； （17）． 【例2】（1）求证（）； （2）求证； （3）求证； （4）求证： 【解析】 （1）∵，∴； （2）； （3）先运用分式放缩法证明出再结合进行裂项最后就可以得到答案 （4）首先容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，． 【例3】求证． 【解析】 一方面，∴；另一方面；当时，当时，当时，∴综上有 【例4】（2008年全国卷设函数数列满足设，整数证明 【解析】 由数学归纳法可以证明是递增数列故存在正整数使则否则若则由知，，∵，于是 【例5】已知，求证． 【解析】 首先可以证明． ，∴要证：，只要证： ；故只要证：，即等价于，即等价于，，而正是成立的，∴原命题成立． 【例6】已知：，，求证：． 【解析】 ，∴；从而． 【例7】已知：，，求证：（）． 【解析】 ，∵，∴，∴（）． 二、函数放缩 求证： 【解析】 先构造函数，从而 ，∴． 【例9】求证（）． 【解析】 构造函数得到再进行裂项求和后可以得到答案函数构造形式，（）． 【例10】求证． 【解析】 提示．函数构造形式，． 当然本题的证明还可以运用积分放缩如图取函数首先，从而取有，∴有、、、，相加后可以得到；另一方面从而有取有，∴有综上有求证和 【解析】 构造函数后即可证明 【例12】求证． 【解析】 ，叠加之后就可以得到答案函数构造形式（）（）（加强命题） 【例13】证明（，）． 【解析】 构造函数求导可以得到，令有令有令有 【例14】已知证明 【解析】 ，然后两边取自然对数可以得到然后运用和裂项可以得到答案放缩思路： 于是，即 注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：，即 【例15】（2008年厦门市质检已知函数是在上处处可导的函数若在上恒成立 （1）求证：函数上是增函数； 当； 已知不等式时恒成立，求证： 【解析】 （1），∴函数上是增函数 （2）∵在上是增函数两式相加后可以得到 （3）【方法一】；；；； 相加后可以得到， ∴； 令有 （）． 【方法二】，∴，又，∴（）． 【例16】（2008年福州市质检已知函数若． 【解析】 设函数，∴，∴，∵，令，则有，∴函数上单调递增，在上单调递减∴的最小值为，即总有而，即令则 三、分式放缩 姐妹不等式和记忆口诀小者小大者大解释看若小则不等号是小于号反之 【例19】姐妹不等式和也可以表示成为和 【解析】 利用假分数的一个性质可得，即 【例20】证明． 【解析】 运用两次次分式放缩（加1（加2相乘可以得，∴有 四、分类放缩 求证． 【解析】 ． 【例22】（2004年全国高中数学联赛加试改编在平面直角坐标系中轴正半轴上的点列与曲线（）上的点列满足，直线在轴上的截距为点的横坐标为 （1）证明，2）证明有，使得对都有 【解析】 （1）依题设有：，由得：又直线在轴上的截距为满足，，，，显然，对于，有 （2）证明：设，则 设，则当时，，取，对都有：故有成立 【例23】（2007年泉州市高三质检已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0]若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论 【解析】 首先求出∵，∴，∵，，…，，故当时，因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，则当时必有故不存在常数A使对所有的正整数恒成立 【例24】（2008年设不等式组表示的平面区域为设内整数坐标点的个数为设当时求证． 【解析】 容易得到，∴，要证只要证，∵，∴原命题得证． 五、放缩 已知求证当时． 【解析】 通过迭代的方法得到然后相加就可以得到结论 【例26】设求证