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第9章 动 能 定 理 * 功是代数量 9.1 力的功 9.1.1 功的概念 单位 J（焦耳） 1 J = 1 N·m 元功 变力在曲线运动中的功 记 力 在 路程上的功为 1）重力的功 质点系 由 重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。 得 9.1.2 几种常见力的功 质点 2）弹性力的功 弹簧刚度系数k(N/m) 弹性力 弹性力的功为 因 式中 得 即 弹性力的功也与路径无关 3） 定轴转动刚物体上作用力的功 则 若 常量 由 从角 转动到角 过程中力 的功为 作用在 点的力 的元功为 力系全部力的元功之和为 4） 平面运动刚体上力系的功 其中 由 两端乘dt,有 其中: 为力系主失, 为力系对质心的主矩. 当质心由 ,转角由 时,力系的功为 即:平面运动刚体上力系的功,等于刚体上所受各力作功的代数和,也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和. 说明:1、对任何运动的刚体,上述结论都适用; 2、C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立; 3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。 9.2 质点和质点系的动能 9.2.2 质点系的动能 9.2.1 质点的动能 单位：J（焦耳） 9.2.3 平移刚体的动能 9.2.4 定轴转动刚体的动能 即 即 即:平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 与绕质心转动的动能之和. 得 速度瞬心为P 9.2.5 平面运动刚体的动能 上面结论也适用于刚体的任意运动. 将 两端点乘 , 由于 9.3 动能定理 9.3.1 质点的动能定理 因此 得 质点动能定理的微分形式，即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。 质点动能定理的积分形式:在质点运动的某个过程中,质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功. 积分之,有 9.3.2 质点系的动能定理 质点系动能定理的微分形式:质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和. 由 求和 得 质点系动能定理的积分形式:质点系在某一段运动过程中,起点和终点的动能改变量,等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和. 积分之,有 9.3.3 理想约束及内力作功 光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的柔索等约束的约束力作功等于零. 称约束力作功等于零的约束为理想约束. 对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可. 内力作功之和不一定等于零. 如图 a所示的铰链，铰链处相互作用的约束力 F和 F ‘是 等值反向的，它们在铰链中心的任何位移 dr上作功之和都 等于零。又如图b中，跨过光滑支持轮的细绳对系统中 两个质点的拉力 F1=F2，如绳索不可伸长，则两端的位移 dr1和dr2沿绳索的投影必相等，因而两约束力 F1和 F2作功 之和等于零。至于图c所示的二力杆对 A，B两点的约束 力，有F1=F2，而两端位移沿AB连线的投影又是相等的， 显然两约束力 F1、F2作功之和也等于零。 已知：轮O ：R1 ，m1 ,质量分布在轮缘上; 均质轮C ：R2 ， m2 ，纯滚动, 初始静止 ;θ ,M 为常力偶。 求:轮心C 走过路程S时的速度和加速度。 例9-1 轮C与轮O共同作为一个质点系 解: 式(a)是函数关系式，两端对t求导,得 求:冲断试件需用的能量。 已知：冲击试验机m=18kg, l=840mm, 杆重不计，在 时静止释放，冲断试件后摆至 例9-2 得冲断试件需要的能量为 解: 若试件的最小横截面积为A，则有 称为材料的冲击韧度，它是衡量材料抵抗冲击能力的一个指标。 此例中也可将整个运动作为一个过程考虑。根据动能定理，有 代入数据可得相同的结果。 综合以上各例，总结应用动能定理解题的步骤如下： (1)选取某质点系(或质点)作为研究对象； (2)选定应用动能定理的一段过程； (3)分析质点系的运动，计算选定过程起点和终点的动能； (4)分析作用于质点系的力，计算各力在选定过程中所作的功； (5)应用动能定理建立方程，求解未知量。 9.3.4 功率、功率方程、机械效率 1）功率：单位时间力所作的功. 即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积. 由 ,得 作用在转动刚体上的力的功率为 单位W（瓦特）,1W=1J/S * *