简析数系的扩充和复数的概念.docVIP

　数系的扩充和复数的概念 1．理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件． 3．了解复数的代数表示法及其几何意义，能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示． 复数的有关概念是高考常考内容，要求不高，一般以小题形式出现． 1．虚数的单位为i，规定：i2＝，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的________仍然成立． 2．复数的概念 形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的______，b叫做复数的__________． ①当时，复数a＋bi为实数； ②当时，复数a＋bi为虚数； ③当且时，复数a＋bi为纯虚数． 3．复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R) ，特别地，a＋bi＝0. 4．在复平面内，实轴上的点都表示；虚轴上的点除外都表示． 5．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立的关系(其中O是坐标原点)． 6．复数的模 向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作________________或.即＝＝r＝____________(r≥0，r∈R)． 7．共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为__________，复数z的共轭复数记作________． 8．数系的扩充 数集扩充的过程是：自然数集(N)→→ → →复数集(C)．数集的每一次扩充，都使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾． 【自查自纠】 1．－1　运算律 2．实部　虚部　①b＝0　②b≠0　③a＝0　b≠0 3．a＝c且b＝d　a＝b＝0 4．实数　原点　纯虚数 5．一一对应 6.　 7．共轭复数　 8．整数集(Z)　有理数集(Q)　实数集(R) 　()已知复数z的共轭复数＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 　若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 　()方程x2＋6x＋13＝0的一个根是(　　) A．－3＋2i B．3＋2i C．－2＋3i D．2＋3i 　已知a－1＋2ai＝－4＋4i(a∈C)，则复数a＝. 　()已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则＝________． 类型一　复数的有关概念及性质 　下列命题中： (1)在复数集中，任意两个数都不能比较大小； (2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数； (3)若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3； (4)x＋yi＝1＋ix＝y＝1； (5)若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【评析】正确理解复数的概念，不要想当然地认为字母表示的数(特别是i的系数)一定是实数，也不要随意将实数中的一些结论推广到复数中去．对z＝a＋bi (a，b∈R)，z为纯虚数z为实数b＝0.　下列命题中： ①若z1－z2＞0，则z1＞z2； ②若z＋z＝0，则z1＝z2＝0； ③z＋＝0z为纯虚数； ④＝zz∈R. 正确的命题是______．类型二　复平面的概念及复数的几何意义 　已知A，B是锐角三角形的两内角，则复数(sinA－cosB)＋(sinB－cosA)i在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【评析】判断复数对应的点在复平面上的位置，只需判断复数的实部和虚部的正负即可，对题目中条件“A，B是锐角三角形的内角”的挖掘是解决此题的关键．　若θ∈，则复数z＝(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 类型三　复数相等的充要条件 　关于x的方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0有实根，则实数m的值是． 【评析】依据两个复数相等的充要条件，构造关于实数根x0与参数m的方程组是解决此类问题的有效手段．　()若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则(　　) A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1 . 1．处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法． 2．熟练掌握复数部分的一系列概念，对于求解复数题至关