20120414二次函数图像与性质.docVIP

二次函数(2011年11月27日) 教学目标:复习二次函数的基本概念和性质,图像等. 1.二次函数的定义: 形如_________________的函数叫做二次函数,特别地,当_______时，_______(a≠0)是二次函数的特例。 二次函数（）的图像是____________。抛物线的顶点坐标是（_____，_____），抛物线的对称轴是_____________。 2．二次函数的性质： 对于二次函数（） （1）当a0时，抛物线开口_____，在对称轴的左侧，y随x值的增大而_____，在对称轴的右侧，y随x值的增大而_____。 （2）当a0时，抛物线开口_____，在对称轴的左侧，y随x值的增大而_____，在对称轴的右侧，y随x值的增大而_____。 3.二次函数的最值： 当a0, 时，y有最小值_______； 当a0, 时，y有最大值_______。 4. 二次函数（）的图像与a、b、c、的关系： （1）a的正负决定抛物线的开口方向，当a0时，抛物线开口_____，当a0时，抛物线开口_____. ________ 决定抛物线的开口大小，_________，抛物线开口越小，反之越大。 （2）决定抛物线与x轴的交点个数，当_______时，抛物线与x轴有两个交点；当_______抛物线与x轴有一个交点；当_______时，抛物线与x轴没有交点。 练习: 已知二次函数y=x2+2x+1. (1) 写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2) 当x为何值时, y随x的增大而减小? 当x为何值时, y随x的增大而增大? (3) 该函数是有最大值还是最小值? 此时x的值为多少? 二次函数的解析式： 例题1、如果函数y=(m－2)x是二次函数, 求常数m的值. 解: ∵y=(m－2)x是二次函数 ∴m2+m－4=2, 即m2+m－6=0 解这个一元二次方程, 得m1=－3, m2＝2 当m=－3时, m－2=－5≠0, 符合题意 当m=2时, m－2＝0, 不合题意. ∴常数m的值为－3. 本题总结：涉及二次函数的问题, 按照先看变量x项的次数, 再看变量最高次项系数的步骤去分析. 练习： 1、如果函数是二次函数, 求常数m的值，和函数的解析式。 3o-13y 3 o -1 3 y x （A） （B） （C） （D） 例题2、已知抛物线(a≠0)的对称轴为x=-1,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(-3,0),B(0,-2) （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，请求出点P的坐标。 （3）若点D 是线段OC上的一个动点（不与点O，点C从重合），过点D 做DE//PC交x轴于点E，链接PD,PE，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。 本题解析：（1）把二次函数设为一般式，用待定系数法可直接求的解析式；当然，利用对称轴性质求出x的另一个交点，把二次函数解析式射程家电视也比较方便（2）利用二次函数的对称性，B点关于对称轴的对称点是A点，则PC+PB=PC+PA，求最小值转化为两点之间线段最短就可确定点P。（3）△PDE中点P已定，DE//PC交x轴于点，求△PDE的面积为S关键是把一般的△PDE转化为特殊的三角形面积（可直角利用点坐标求出边长及边长上的高）的和或差…这种一般到特殊的转化思想要会灵活运用 解：由题意得 ∴这个抛物线的解析式是 （2）连接AC,BC，因为BC的长度一定，所以△PBC周长最小，就是使PC+PB最小，B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=-1的交点即为所求的点P 设直线AC 的表达式为y=kx+b 则 ∴此直线的表达式为 把x=-1代入得y= 所以P点的坐标为（-1，） （3）S存在最大值 理由：∵DE//PC即DE//AC ∴△OED△OAC ∴ ∴OE=3-m，AO=3，AE=m 连接OP = = ∵ ∴当m=1时，。 规律总结：求△PBC的周长最小值问题，由于BC的长度一定，即求PC+PB最小，利用抛物线轴对称性质以及两点之间线段最短定理可解决此类问题。求非特殊图形面积是常见题型，通常运用“割”、“补”的方法把其转化为特殊的易求边、高的三角形或四边形面积。 巩固练习： 1、如图点A,B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C,D亮点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为多少？ 例题3、如图1，在水平底面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在底面上落点为B，有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱