第五章固体物理学.ppt

第五章 晶体中电子能带理论; 电子在运动过程中并不像自由电子那样完全不受任何力的作用，电子在运动过程中受到晶格中原子势场的作用。; 玻恩-奥本海默绝热近似：所有原子核都周期性地静止排列在其格点位置上，因而忽略了电子与声子的碰撞。;一.周期场模型;在周期场中，描述电子运动的Schr?dinger方程为;换句话说：Bloch 发现，不管周期势场的具体函数形式如何， 在周期势场中运动的单电子的波函数不再是平面波，而是 调幅平面波，其振幅也不再是常数，而是按晶体的周期而 周期变化。;5.1布洛赫波函数;5.1布洛赫波函数;(1)平移对称算符;晶体中单电子哈密顿量 具有晶格周期性。; 由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数 是 的本征函数，那么 也一定是算符 的本征函数。;可得到;根据上式可得到;---布洛赫定理;因此电子的波函数一般应是这些平面波的线性叠加; 可以认为电子在整个晶体中自由运动。布洛赫函数的平面波因子描述晶体中电子的共有化运动，而周期函数的因子描述电子在原胞中运动，这取决于原胞中电子的势场。;;可以证明; 在简约布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体的原胞数目N=N1N2N3。在波矢空间内，由于N的数目很大，波矢点的分布是准连续的。一个波矢对应的体积为：; 下面证明; 例1：一维周期场中电子的波函数 应当满足布洛赫定理，若晶格常量为a，电子波函数为　 , f为某一确定函数，试求电子在这些状态的波矢。 ;据布洛赫定理，;四、 Bloch函数的性质;晶体中电子：; 如果电子只有原子内运动（孤立原子情况），电子 的能量取分立的能级；; 在倒格空间中以任意一个倒格点为原点，做原点和其他所有倒格点连线的中垂面(或中垂线)，这些中垂面(或中垂线)将倒格空间分割成许多区域，这些区域称为布里渊区。;对于已知的晶体结构，如何画布里渊区呢?;例2：下图是一个二维晶体结构图，画出它的第一、第二、第三布里渊区。;;布里渊区的面积;第一区;;;例4：画出面心立方第一布里渊区。设面心立方晶格常量为a。;倒格基矢：;例5：画出体心立方第一布里渊区。设体心立方晶格常量为a。;体心立方倒格是边长为 4?/a的面心立方。;正方形; 能带理论是单电子近似理论，把每个电子的运动看成是独立地在一个等效势场中的运动。布洛赫定理指出，一个在周期场中运动的电子，其波函数一定是布洛赫函数。周期性边界条件的引入，说明了电子的状态是分立的。 ;按照布洛赫定理，波函数应有以下形式;在势场突变点，波函数及其导数连续。;（2）在-bx0区域，势能EV0;在na-bna+xna区域;在x=c处，u连续。;由于k是实数;5.2 克龙尼克-潘纳模型;时，能量与波矢量关系;两个相邻能带之间的能量区域称为禁带。;? k 值越大，相应的能带越宽。;（2）运动方程与微扰计算; Fourier展开：;（3)无简并定态微扰理论;分别对电子能量E(k)和波函数?(k)展开;一级微扰方程：; 由于一级微扰能量Ek(1)＝0，还需用二级微扰方程来求出二级微扰能量。;电子的能量：;其中; 在一般情况下，各原子产生的散射波的位相不同，彼此相互抵消，散射波中各成分的振幅均较小，可用微扰法处理。;由上式可求得;在布里渊区边界上:;零级近似的波函数也必须写成;由于;讨论;（1）在零级近似中，电子作为自由电子，能量本征值与k的关系曲线是抛物线。 ;扩展式 ; 每个布里渊区都表示出所有的能带，E(k)是k的周期函数。;一维能带结构简约布里渊区 ;5.5 平面波方法;(1) 微扰计算;考虑到 后解薛定谔方程，由布洛赫定理可知波函数应为：;上式点乘 并对整个晶体积分得：; 因为 有无数多个取值，所以上式是一个无限多项的方程式。在计算精度范围内，可取有限项平面波来作 的近似。在此情况下，上式就变为一个有限项的方程。这样的方程构成了一个齐次方程组。;由此行列式可求出电子的能量 。;即;利用：; 两能极之间的能量区间称为禁带，禁带宽度为相应傅里叶分量绝对值的二倍。; 令 ，则从图中可以看出，不仅 与 的模相等，而且，若把 看作 中 垂面的入射波矢， 恰是 中垂面的反射波矢。 ;由图可知; 三维：与一维的重要区别是不同的能带在能量上不一定隔开，而可以发生能带之间的交叠。; 三维：与一维的重要区别是不同的能带在能量上不一定隔开，而可以发生能带之间的交叠。;