单一正常人群的假设检验.docVIP

第二节 单个正态总体的假设检验 1.单个正态总体数学期望的假设检验 （1） σ2已知关于μ的假设检验（Z检验法(Z-test)） 设总体X~N（μ，σ2），方差σ2已知，检验假设 H0：μ=μ0；H1：μ≠μ0 (μ0为已知常数） 由 ~N（μ，），~N（0，1）， 我们选取 Z= （8.2） 作为此假设检验的统计量，显然当假设H0为真（即μ=μ0正确）时，Z~N（0，1），所以对于给定的显著性水平α，可求zα/2使 P{｜Z｜＞zα/2}=α， 见图8-1，即 P{Z＜-zα/2}+P{Z＞zα/2}=α. 从而有 P{Z＞zα/2}=α/2， P{Z≤zα/2}=1-α/2. 图8-1 利用概率1-α/2，反查标准正态分布函数表，得双侧α分位点（即临界值）zα/2. 另一方面，利用样本观察值x1，x2，…，xn计算统计量Z的观察值 z0=. （8.3） 如果：（a）｜z0｜＞zα/2，则在显著性水平α下，拒绝原假设H0（接受备择假设H1），所以｜z0｜＞zα/2便是H0的拒绝域. （b） ｜z0｜≤zα/2，则在显著性水平α下，接受原假设H0，认为H0正确. 这里我们是利用H0为真时服从N（0，1）分布的统计量Z来确定拒绝域的，这种检验法称为Z检验法（或称U检验法）.例8.1中所用的方法就是Z检验法.为了熟悉这类假设检验的具体作法，现在我们再举一例. 例8.2 根据长期经验和资料的分析，某砖厂生产的砖的“抗断强度”X服从正态分布，方差σ2=1.21.从该厂产品中随机抽取6块，测得抗断强度如下（单位：kg·cm-2）： 32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03 检验这批砖的平均抗断强度为32.50kg·cm-2是否成立（取α=0.05，并假设砖的抗断强度的方差不会有什么变化）？ 解 ① 提出假设H0：μ=μ0=32.50；H1：μ≠μ0. ② 选取统计量 Z=， 若H0为真，则Z~N（0，1）. ③ 对给定的显著性水平α=0.05，求zα/2使 P{｜Z｜＞zα/2}=α， 这里zσ/2=z0.025=1.96. ④ 计算统计量Z的观察值： ｜z0｜= =≈3.05. ⑤ 判断：由于｜z0｜=3.05＞z0.025=1.96，所以在显著性水平α=0.05下否定H0，即不能认为这批产品的平均抗断强度是32.50 kg·cm-2. 把上面的检验过程加以概括，得到了关于方差已知的正态总体期望值μ的检验步骤： （a） 提出待检验的假设H0：μ=μ0；H1：μ≠μ0. （b） 构造统计量Z，并计算其观察值z0： Z=，z0=. （c） 对给定的显著性水平α，根据 P{｜Z｜＞zα/2}=α，P{Z＞zα/2}=α/2，P{Z≤zα/2}=1-α/2 查标准正态分布表，得双侧α分位点zα/2. （d） 作出判断：根据H0的拒绝域 若｜z0｜＞zα/2，则拒绝H0，接受H1； 若｜z0｜≤zα/2，则接受H0. （2） 方差σ2未知，检验μ（t检验法(t-test)） 设总体X~N（μ，σ2），方差σ2未知，检验 H0：μ=μ0；H1：μ≠μ0. 由于σ2未知，便不是统计量，这时我们自然想到用σ2的无偏估计量——样本方差S2代替σ2，由于 ~t（n-1）， 故选取样本的函数 t= （8.4） 图8-2 作为统计量，当H0为真（μ=μ0）时t~t（n-1），对给定的检验显著性水平α，由 P{｜t｜＞tα/2（n-1）}=α， P{t＞tα/2（n-1）}=α/2， 见图8-2，直接查t分布表，得t分布分位点tα/2（n-1）. 利用样本观察值，计算统计量t的观察值 t0=， 因而原假设H0的拒绝域为 ｜t0｜=＞tα/2（n-1）. （8.5） 所以，若｜t0｜＞tα/2（n-1），则拒绝H0，接受H1；若｜t0｜≤tα/2（n-1），则接受原假设H0. 上述利用t统计量得出的检验法称为t检验法. 在实际中，正态总体的方差常为未知，所以我们常用t检验法来检验关于正态总体均值的问题. 例8.3 用某仪器间接测量温度，重复5次，所得的数据是1250°,1265°，1245°，1260°，1275°，而用别的精确办法测得温度为1277°(可看作温度的真值），试问此仪器间接测量有无系统偏差？ 这里假设测量值X服从N（μ，σ2）分布. 解 问题是要检验 H0：μ=μ0=1277；H1：μ≠μ0. 由于σ2未知（即仪器的精度不知道），我们选取统计量 t=. 当H0为真时，t~t（n-1），t的观察值为 ｜t0｜=＞3. 对于给定的检验水平α=0.05，由 P{｜t｜＞tα/2（n-1）}=α， P{t＞tα/2（n-1）}=α/2， P{t