定性线性系统导论.PDFVIP

定性線性系統導論 譚必信 1. 前言 統為可解, 且對任意 B ∈ Q(A), c ∈ Q(b), 系統 By = c 亦為可解且 y ∈ Q(x) 。 經濟學家 Paul Samuelson 於 1947 線性系統符號可解性的第一個基本問題 自然為找 出符號可解的等價條件。 第一個問 年在他的經典名著 Foundations of Eco- 題解決以後, 值得研究的題 目包括找出有效 nomic Analysis[19]建議研究線性系統的定 的判別算則及找 出產生符號可解線性系統的 性。 自那時候開始, 不少經濟學家、 數學家、 方法。 第一個問題 目前已獲得完全解決, 在本 計算機科學家、 環境學家及化學家投入這方 文我們將作比較詳細的介紹。 後面的兩個問 面的研究。 特別的, 他們是注重符號可解性及 題是相當困難, 且 目前尚未完全獲得解決, 限 符號穩定性這兩方面的問題。 本文的目的是 於篇幅及筆者的學識, 在本文只是點到即止。 介紹前者的問題。 這裡我們需用到的工具主要是圖論 (在 簡單來說, 所謂一個線性系統 (即線性 研究判別算則時, 凸集合理論及命題邏輯都 方程 ) Ax = b 為符號可解是指它的可解 是重要的工具, 但本文將不會接觸到這些)。 性及它的解向量的符號型是由矩陣 A 及向 藉著這個機會, 在本文的第三節, 我們將介紹 量 b 的符號型來決定。 為了能說得明確, 讓 行列式的圖論表示法。 Brualdi在論文 [2]曾 我們先引入一些符號。 實數 a 的符號是記作 指出, 矩陣理論及 合學有一個共生的關係, sgn(a) ; sgn(a) 是等於 −, 0 或 +, 視 而產生這關係的緣由最少一部份可歸諸為矩 乎 a 為負、 零或正。 (為了方便, 有時候我們 陣理論有很大部份與行列式有關 (因為重要 用 −1 及 1 來代替 − 及 + 。) 對任一實 的概念如秩、 特徵值等都可利用行列式來定 m × n 矩陣 A, 我們以 Q(A) 表示由所有 義), 但行列式卻有一個圖論表示法。 這個表 俱有 A 的符號型的實 m × n 矩陣構成的 示法是很有用處且並不難學習。 可惜的是, 在 集合; 換言之, B ∈ Q(A) 若且唯若對所有 大學部的線性代數課程通常都不會教到。 i, j , sgn(bij ) = sgn(aij ) 。 我們稱線性系統 在下一節我們將舉一例子以說明定性分 Ax = b 為符號可解 (sign-solvable) 若這系 析如何在實際問題上可派上用場。