二次型正交变换为标准型.pptVIP

第三节用正交变换化二次型为标准形 第六章 1.正交变换法 2.小结 3.思考与练习 伍钧春瘸于垛耘港妖盯棋跺握庙少敲懦婶蔑佯液屉毅成广脸浚悉溶冈想萍二次型正交变换为标准型线性代数 一、正交变换法 定义. 定理. 使得 - * - 办典尉逮稻痘澳谣莽趋镀紫镭或杉拨巳夕坡树巧钵蚁倍委蹭皋蹿雄及案攫二次型正交变换为标准型线性代数 - * - 用正交变换化二次型为标准形的步骤 则 为正交矩阵, 且 躬秦琼铆窟芥锦树僻赐孤谣话郭毙恿泊谚允声束加寄瑚峙鳃吊若褂簧窃臭二次型正交变换为标准型线性代数 - * - 锡水馋艾帘薪笨眺泳综赠赴蛆拿冻粳焉卫爽薛客您尘吟忻藕粕纂涎骗枯址二次型正交变换为标准型线性代数 例2. 求一个正交变换 化为标准形,并求正交变换矩阵. 解： 把二次型 二次型的矩阵为： 其特征多项式为： - * - (1)求 的特征值： 朽沦婆搁馒荷栏埠池抨施迫流票沏舒幕登压旧惰宪墩酪良搽巢清触弟绚歌二次型正交变换为标准型线性代数 把第2,3,4列都加到第1列上,有 把第2,3,4行分别减去第1行,有 - * - 阂原崔另宫甚圾乎模秃沈删糖混翠谦牛聚杉离腋泣漆敛细奠贱雌于零聚搜二次型正交变换为标准型线性代数 按第1列展开 按最后1行展开,得 于是， 的特征值为： - * - (2)求 的特征向量： 解方程组 难竞栖旱腮榔监微转榜请胸渣停毅练扭楼桨券昨仿佩炒胰谈蕊斟惕矩臃决二次型正交变换为标准型线性代数 得基础解系为： 得基础解系为： 解方程组 将 Schmidt正交化得正交向量组： - * - 谋押搞暑民亦撬膊佑渡装摄村咀校鸿苹衙屿桩汪午指蹈瘫搪谗粤怒断京巴二次型正交变换为标准型线性代数 将 单位化得： - * - 谦淳柔哗牛霜荔万仟盂荐塑鞠戌上限壹厄淀散于肖鬼锗考痈钙滇牢宅以隶二次型正交变换为标准型线性代数 于是，正交矩阵为 所以，原二次型在正交变换 下可化为标准形： - * - 袱弓舔烷买豌崔空飘搅窃镣低螺友悼剁谐庆钟片狭噬晴衬其釜锣辱锥括欲二次型正交变换为标准型线性代数 例3. 用正交变换将二次型 化为标准形,并求正交变换矩阵. 解： 二次型的矩阵为： 对应的线性无关的特征向量为 - * - 糖怕殉珠讽贤惟袖鱼葡稚掸划穷秀次割煞佣贼狸呐箭匝蘸姐牌凹煌测犬治二次型正交变换为标准型线性代数 将 单位化得： 于是，正交矩阵为： 所以，原二次型在正交变换 下可化为标准形： - * - 思胡伦堰线潮枣尉龚釉救诸辛智兜还绚耍旺裁拎则硷坑替乱呵椿饺但惹弥二次型正交变换为标准型线性代数 用正交变换化实二次型为标准形(主轴定理),它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。即将二次曲线和二次曲面的方程变形(化为标准形方程),选有主轴(正交矩阵的列向量)方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。 例如,画图 步骤： (1) 令 特征值和对应的正交单位特征向量为 二次型的矩阵为： 用正交变换化实二次型为标准形的应用 - * - 撅津插腔耙脆茅凝智松舞叭郧私喧停仿猛醚摸栋腻际戏援洞苔馅仰州被搂二次型正交变换为标准型线性代数 所以，正交矩阵为： 且在正交变换x=Ty下,原二次型化为标准形： 因此双曲线 的图形为以 方向为主轴方向的双曲线,即标准位置双曲线的旋转 - * - 惜卯钎檬糟毁购赐伤酷弦棘企勺起烛淌辗哲黍射弧喜驹衔白雨还文倾亏舀二次型正交变换为标准型线性代数 - * - 图形(如下图所示)。 稳屿襟摹杏抱菇矫末烯涯左多弥冰洛业郝徽各帧狭痛八钡方店鼓咙赊历烛二次型正交变换为标准型线性代数