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一次“不成功”的几何画板作图活动 —— 研究式数学活动个案解析 温州中学 章岳平 数学教育在注重“基本知识”和“基本技能”的同时，要积累“基本数学活动经验”和发展“基本数学思想方法”。数学活动经验是指在数学目标的指引下，通过对日常生活中的具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。此种经验的获得与积累过程，是学生主动探索的过程。因此，改革传统的单纯知识传授型的教学模式，进行研究式教学，引导学生开展研究式数学活动，是新课改的一个重要方向。 何为“研究式教学”？当是指在教学中注重两点：一是发现知识的原始过程；二是发现知识时的科学思想方法。研究式数学活动熔知识、能力、素质于一炉，学生参加了研究和发现的全过程，所获得的数学活动经验不仅仅是知识，还有思想方法的提升，更重要的是潜移默化地激发了他们的创新热情和提高了他们的创新能力。 日常教学中，常常有一些难忘的数学活动，使笔者感到，在师生的交流过程中，充满了思辩的乐趣。本文就一则研究式数学活动案例的发生、发展以及探究的过程，谈几点体会。 一、案例的发生 “椭圆的性质”课后，笔者刚在办公室坐定，一学生兴冲冲地进来，忐忑而又期待地问：“老师，一般的齿轮是圆的，既然圆与椭圆有许多类比性质，那么有椭圆齿轮吗？”原来，刚才的课堂上，我们用类比的方法，学习探究了椭圆的一些性质，于是，该学生想到了这个问题，估计费了些劲，没想明白，把希望寄托在老师身上。 “真是个很有意思的问题！”我不禁为学生的想法喝彩。“生活中似乎很少见到椭圆齿轮，工业生产中可能有，我们上百度‘百’一下吧！” 键入关键词，“百度一下”后，电脑页面上出现了一系列关于“椭圆齿轮流量计”的信息，如下图： 图1-1 图1-2 原来，椭圆齿轮在生产中也有着重要的作用。从图1-2也能大致了解流量计的工作原理。 学生感到满意，刚想道谢回去，被我叫住了。“等等，问题还没完全解决呢！两个椭圆齿轮之间是怎样实现传动的？跟圆形齿轮有何区别？请你组织部分同学作一探究，并用几何画板尝试作图。”据我了解，该班有部分学生选修了“几何画板”校本课程，于是给他提出了进一步的任务。“好的！”他爽快地答应了。 二、初步探究 几天后，该生和另几位同学一起来找我。下面是师生讨论实录： 学生1：“两个齿轮旋转时，轮齿必须互相啮合，所以齿轮传动的原理是线速度（单位时间的弧长）相等，引起角速度（单位时间的角度）变化。对于圆形齿轮来讲，若两圆大小相等，则角速度亦相等；若两圆大小不一，则角速度不等，但转速比为定值，从而实现传动功能。” 老师：“很好！能用几何画板作图演示吗？” 学生演示作好的几何画板课件如下： 图2-1 图2-2 按“动画”键后，两圆上各有一点以相同的线速度，分别按逆时针和顺时针方向绕圆心旋转，恰当地演示出齿轮传动的效果。学生略去轮齿的作图，仅以圆表示齿轮，是可行的。 老师：“椭圆齿轮的传动原理又是怎样的呢？如何作图？” 学生2：“类比圆形齿轮，两椭圆大小相同，以椭圆中心为旋转轴。大小不同的椭圆无法传动。” 学生演示动画如下： 图3-1 图3-2 图3-3 图3-1为初始位置，椭圆A短轴顶点与椭圆B长轴顶点啮合。旋转四分之一圆周后到达图3-3位置，轮齿啮合点经过椭圆弧长的四分之一。“但是，出现了与预想不一致的结果。您看，旋转到中间位置时，两椭圆相离。也就是说，两个椭圆旋转的节拍不一致，齿轮不能正常啮合！” 老师：“你说得对。那么，问题出在哪儿呢？传动原理可行吗？” 几位学生开始争论起来，最后达成共识：根据流量计资料，既然工业中有应用，就说明原理是正确的。但是，具体的数学依据又是什么呢？学生想不明白。于是，笔者又有了一种被期待的感觉。 老师：“一对椭圆能否保持正常接触？线速度相等是关键。再请几何画板帮忙吧！” 学生改为手动拖动椭圆，两椭圆旋转后保持亲密接触，如图4： 尝试了几种不同的位置后，从演示结果看，两椭圆啮合点C始终在椭圆中心连线上。 老师：“能证明吗？” 学生3：“如图4-1的初始位置，在两个椭圆上分别任意取点M1和点M2，使得椭圆弧CM1和CM2的弧长相等。若旋转到图4-2位置，点M1和M2重合于新的啮合点C，则