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Matlab方程的求解
Matlab的Lyapunov、Sylvester和Riccati方程的Matlab求解 一、连续Lyapunov方程 连续Lyapunov方程可以表示为 Lyapunov方程来源与微分方程稳定性理论，其中要求C为对称正定的n×n方阵，从而可以证明解X亦为n×n对称矩阵，这类方程直接求解比较困难，不过有了Matlab中lyap()函数，就简单多了。 A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0] A = ? ???1? ???2? ???3 ? ???4? ???5? ???6 ? ???7? ???8? ???0 C=-[10 5 4;5 6 7;4 7 9] C = ? ?-10? ? -5? ? -4 ? ? -5? ? -6? ? -7 ? ? -4? ? -7? ? -9 X=lyap(A,C) X = ? ?-3.9444? ? 3.8889? ? 0.3889 ? ? 3.8889? ?-2.7778? ? 0.2222 0.3889? ? 0.2222? ?-0.1111 二、Lyapunov方程的解析解 利用Kroncecker乘积的表示方法，可以将Lyapunov方程写为 function x=lyap2(A,C) %Lyapunov方程的符号解法 n=size(C,1); A0=kron(A,eye(n))+kron(eye(n),A); c=C(:); x0=-inv(A0)*c; x=reshape(x0,n,n) 例子 A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0]; C=-[10 5 4;5 6 7;4 7 9]; x=lyap2(sym(A),sym(C)) x = [ -71/18,? ?35/9,? ?7/18] [? ?35/9,??-25/9,? ? 2/9] [? ?7/18,? ? 2/9,? ?-1/9] 三、离散Lyapunov方程 离散Lyapunov方程的一般形式为 Matlab中直接提供了dlyap()函数求解该方程：X=dlyap(A,Q) 其实，如果A矩阵非奇异，则等式两边同时右乘得到 就可以将其变换成连续的Sylvester方程 而Sylvester方程是广义Lyapunov方程，故离散的Lyapunov方程还可以使用下面的方法求解 B=-inv(A’) C=Q*inv(A’) X=lyap(A,B,C) 下面总结下我们上面的讲到的知识点： X=lyap(A,C)? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?连续Lyapunov方程数值解法 X=lyap2(A,C)? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? 连续Lyapunov方程符号解法 X=lyap(A,B,C)? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???广义Lyapunov方程，即Sylvester方程 X=dlyap(A,Q)或者X=lyap(A,-inv(A’),Q*inv(A’))? ? 离散Lyapunov方程 Sylvester方程Matlab求解Sylvester方程的一般形式为 该方程又称为广义的Lyapunov方程，式中A是n×n方阵，B是m×m方阵，X和C是n×m矩阵。Matlab控制工具箱提供了直接的求解该方程的lyap()函数 A=[8 1 6;3 5 7;4 9 2] B=[2 3;4 5] C=[1 2;3 4;5 6] X=lyap(A,B,C) A = ? ???8? ???1? ???6 ? ???3? ???5? ???7 ? ???4? ???9? ???2 B = ? ???2? ???3 ? ???4? ???5 C = ? ???1? ???2 ? ???3? ???4 ? ???5? ???6 X = ? ? 0.2011? ? 0.2016 ? ? 0.0393? ? 0.1554 ? ?-0.6428? ?-0.8966 同理，我们使用Kronecker乘机的形式将原方程进行如下变化 故可以编写Sylvester方程的解析解函数 function X=lyap3(A,B,C) %Sylvester方程的解析解法 %rewrited by dynamic %more information If nargin==2,C=B;B=A;end [nr,nc]=size(C); A0=kron(A,eye(nc))+kron(eye(nr),B); try ? ? C1=C; ? ? X0=-inv(A0)*C1(:); ? ? X=reshape(X0,nc,nr); catc
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