2003级北邮硕士生“概率论与随机过程”试题.docVIP

2003级硕士生“概率论与随机过程”试题 任课教师：唐碧华 （请将答案写在答题纸上，否则一律无效） 概念题：（每小题5分，共15分） 简述可测函数的基本概念，并说明它与随机变量的区别与联系。 用数学语言描述马尔可夫过程。 用数学语言描述Lebesque-Stieltjes积分。 填空题（每小题3分，共9分） 1．在 条件下，P(A/B) = P(A)；在 条件下，P(A∪B) = P(A) + P(B)。 设ξ服从分布：，则ξ的特征函数 为 。 3．在 条件下，两个随机过程{X(t)，t∈T}，{Y(t)，t∈T}相互正交；在 条件下，两个随机过程互不相关。 三、（10分）设随机变量的联合分布律为： Y X 0 1 2 3 1 1/4 0 0 1/16 2 1/16 1/4 0 1/4 3 0 1/16 1/16 0 求的边缘分布律； 判断与是否相互独立； 求时的条件分布律； 求时的条件数学期望； 求时的条件方差 四、（12分）设（X,Y）的联合密度函数为： 八、（10分）有三个黑球和三个白球。把这六个球任意等分给甲、乙两个袋中，并把甲袋中的白球数定义为该过程的状态，则有四个状态：0，1，2，3。现每次从甲、乙两袋中各取一球，然后相互交换，即把从甲袋取出的球放入乙袋，把从乙袋取出的球放入甲袋，经过次交换，过程的状态为。 试问该过程是否为马尔可夫链； 计算它的一步转移概率矩阵。 九、（10分）设马氏链的转移概率矩阵为： 试讨论该马氏链的状态分类、周期及平稳分布。 十、（10分）设随机过程，其中为常数，和为相互独立的随机变量，的概率密度函数为偶函数，在内均匀分布，证明： （1）为宽平稳过程； （2）的均值是各态历经的。 2005级硕士生“概率论与随机过程1、2、3班”试题 （请将答案写在答题纸上，否则一律无效） 概念题：（每小题5分，共10分） 用数学语言描述测度和概率，并说明其本质的区别所在。 用数学语言描述随机过程。 填空题（每小题3分，共9分） 1．随机变量的数学期望表示为可测函数的积分形式为 ，表示为数学期望的L-S积分形式为 。 2．在 条件下，两个随机过程{X(t)，t∈T}，{Y(t)，t∈T}相互正交；在 条件下，两个随机过程互不相关。 3．在 条件下，二阶矩过程{X(t)，t∈T}为宽平稳过程。 三、（10分）证明：若一集代数(是单调类，它一定是(-代数。 四、（12分）设随机变量的联合分布律为： 0 1 2 3 1 0 0 2 0 3 0 0 求的边缘分布律； 判断与是否相互独立； 求在时的条件分布律； 求； 求V=max(X,Y)的分布律； 求U=min(X,Y)的分布律； W=X+Y的分布律。 五、（10分）设（X，Y）的联合密度函数为： 求：（1）； （2） 六、（8分）对下列分布函数求特征函数： 七、（7分）设随机变量： 试利用Chebyshev不等式证明： （1）这些随机变量的样本均值：当时依概率收敛于p； （2）判断当时是否几乎处处收敛于p？ 八、（8分）设是相互独立的随机变量序列，且 。证明：均方收敛到0。 九、（7分）已知某平稳过程的相关函数，其中a0为常数.求该随机过程的谱密度函数。 十、（9分）连续掷一骰子，以Xn记前n次投掷中出现的最大点数，则{Xn，n}为Markov链，试求其n步转移概率矩阵。 十一、（10分）设马氏链的状态空间E ={1,2,3,4，5},转移概率矩阵为： 讨论其状态分类，并求其常返闭集的平稳分布。