双曲线的几何性质l练习.docVIP

双曲线的几何性质 一、选择题 1．(2009·宁夏、海南)双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　) A．2 B．2 C. D．1 [答案]　A [解析]　本题主要考查双曲线的几何性质． 由双曲线－＝1得焦点坐标为(±4,0)，渐近线方程为x±y＝0， ∴焦点到渐近线的距离d＝＝2. 2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 [答案]　B [解析]　顶点为(0,2)，∴a＝2且焦点在y轴上，又实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，∴有4＋2b＝·2c，且4＋b2＝c2，解得b＝2. 3．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是(　　) A．(1，) B．(1，)∪(，＋∞) C．(，＋∞) D．[，＋∞) [答案]　C [解析]　用数形结合法解决较为简单，由图分析可知，只有当渐近线斜率2时，才能保证y＝2x与双曲线有公共点， ∴4，即5. ∴. 4．如果＋＝－1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是(　　) A．(1，＋∞)B．(0,2) C．(2，＋∞) D．(1,2) [答案]　A [解析]　方程化为：－＝1， ∴∴k2. 又c＝＝1， 故选A. 5．(2009·四川)已知双曲线－＝1(b0)的左右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·＝(　　) A．－12 B．－2 C．0 D．4 [答案]　C [解析]　本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质． 由题意得b2＝2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)， 又点P(，y0)在双曲线上，∴y＝1， ∴·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0) ＝－1＋y＝0，故选C. 6．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是(　　) A．x＝±y B．y＝±x C．x＝±y D．y＝±x [答案]　D [解析]　由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上， ∴椭圆焦点(，0)， 双曲线焦点(，0)． ∴3m2－5n2＝2m2＋3n2. ∴m2＝8n2. 又∵双曲线渐近线为y＝±·x， ∴代入m2＝8n2，|m|＝2|n|，得y＝±x. 7．如果双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为(　　) A.　　　 B．2　　　 C.　　　 D．2 [答案]　A [解析]　∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，又两渐近线互相垂直，所以a＝b，c＝＝a，e＝＝. 8．已知双曲线－＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　) A. B. C．2 D. [答案]　B [解析]　由题意|PF1|－|PF2|＝2a，即3|PF2|＝2a， ∴|PF2|＝a，设P(x0，y)，则x00，∴a＝ex0－a，∴e＝. ∵|x0|≥a，∴≤1.∴e＝·≤.故选B. 9．(2010·浙江理，8)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a0，b0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为(　　) A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0 C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0 [答案]　C [解析]　如图：由条件|F2A|＝2a，|F1F2|＝2c 又知|PF2|＝|F1F2|，知A为PF1中点，由a2＋b2＝c2，有|PF1|＝4b由双曲线定义： |PF1|－|PF2|＝2a，则4b－2c＝2a ∴2b＝c＋a，又有c2＝a2＋b2，(2b－a)2＝a2＋b2， ∴4b2－4ab＋a2＝a2＋b2 3b2＝4ab，∴＝， ∴渐近线方程：y＝±x.故选C. 10．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 [答案]　D [解析]　设双曲线方程为－＝1(a0，b0)，依题意c＝，∴方程可化为－＝1，由得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝. ∵＝－，∴＝－， 解得a2＝2.故所求双曲线方程为－＝1. 二、填空题 11．与椭圆＋＝1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为__________． [答案]　－＝1 [解析]　∵双曲线的两渐近线互相垂直， ∴双曲线为等轴双曲线，又c2＝5，∴a2＝b2＝. 12．(2008·安徽)已知双曲线－＝1的离心率为，则n＝________. [