我的运筹学课件wang-对偶理论与灵敏度分析.pptVIP

Chapter2 对偶理论 ( Duality Theory ) 对偶理论是线性规划的重要内容之一。随着线性规划问题研究的深入，人们发现对应于每个线性规划问题都伴生一个相应的线性规划问题。 前者是由矩阵Ａ，右端向量ｂ和价值向量Ｃ定义的，称之为原问题； 后者也是由相同的数据集合Ａ，ｂ和Ｃ构成的，称之为原问题的对偶问题。 一对原问题和对偶问题是紧密关联的，它们不但有相同的数据集合，相同的最优目标函数值，而且在求得一个线性规划的最优解的同时，也同步得到对偶线性规划的最优解。对偶理论深刻地指示了原问题和对偶问题的内在联系，由对偶问题引伸出来的对偶解还有着重要的经济意义，是研究经济学的重要概念和工具之一。 线性规划的对偶模型 设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需4种设备按A，B，C，D顺序加工，每件产品加工所需的机时数、每件产品的利润值及每种设备的可利用机时数列于下表 ： 线性规划的对偶模型 解：设甲、乙型产品各生产x1及x2件，则数学模型为： 线性规划的对偶模型 在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条： ?（1）不吃亏原则。把设备租出去所获得的租金不应低于利用这些设备自行生产所获得的利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约束条件。 （2）竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时总收费，以便争取更多用户。 线性规划的对偶模型 把同种问题的两种提法所获得的数学模型用表2表示，将会发现一个有趣的现象。 线性规划的对偶模型 线性规划的对偶模型 线性规划的对偶模型 （1）对称形式 线性规划的对偶模型 例2.1 写出线性规划问题的对偶问题 线性规划的对偶模型 线性规划的对偶模型 线性规划的对偶模型 线性规划的对偶模型 例2.2 写出下列线性规划问题的对偶问题. 线性规划的对偶模型 例2.3 写出下列线性规划问题的对偶问题. 线性规划的对偶模型 例2.4 线性规划的对偶模型 对偶性质 对偶性质 对偶性质 例2.5 对偶性质 推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行（如P），而另一个不可行（如D），则该可行的问题目标函数值无界。 对偶性质 对偶性质 对偶性质 性质4 强对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。 对偶性质 对偶性质 性质5的应用： 该性质给出了已知一个问题最优解求另一个问题最优解的方法，即已知Y＊求X＊或已知X＊求Y＊ 对偶性质 例2.7 已知线性规划 对偶性质 设对偶问题最优解为Y＊＝(y1，y2),由互补松弛性定理可知，X＊和 Y＊满足： 对偶性质 例2.8 已知线性规划 对偶性质 设对偶问题最优解为X＊＝(x1，x2 ，x3)T ,由互补松弛性定理可知，X＊和 Y＊满足： 对偶性质 原问题与对偶问题解的对应关系小结 对偶问题的经济解释－影子价格 1. 影子价格的数学分析： 对偶问题的经济解释－影子价格 2. 影子价格的经济意义 1）影子价格是一种边际价格 在其它条件不变的情况下，单位资源数量的变化所引起的目标函数最优值的变化。即对偶变量yi 就是第 i 种资源的影子价格。即： 对偶问题的经济解释－影子价格 2）影子价格是一种机会成本 对偶问题的经济解释－影子价格 对偶问题的经济解释－影子价格 4）影子价格对单纯形表计算的解释 对偶单纯形法 对偶单纯形法 对偶单纯形法 对偶单纯形法 对偶单纯形法 对偶单纯形法 对偶单纯形法 对偶单纯形法 灵敏度分析 灵敏度分析 灵敏度分析 灵敏度分析 灵敏度分析 灵敏度分析 灵敏度分析 灵敏度分析 灵敏度分析 灵敏度分析 灵敏度分析 例1 灵敏度分析 灵敏度分析 灵敏度分析 例1 灵敏度分析 灵敏度分析 灵敏度分析 例1 灵敏度分析 灵敏度分析 灵敏度分析 例1 灵敏度分析 灵敏度分析 思考题 判断下列结论是否正确，如果不正确，应该怎样改正？ 本章小结 （1） XB=B－1b= = = ≥0 B－1 解得40≤b3≤50，即当b3∈[40，50] 时，最优基B 不变 z*=5×（80－b3）+4×（－80+2b3） =80+3b3 = （2）当 b3= 55 时 = x2 x1 x5 0 -11/5 -3/5 0 0 σj 0 -1/5 2/5 1 0 20 4 0 3/5 -1/5 0 1 30 5 1 -2/5 -1/5 0 0 5 0 -3 2 -1 [-5] x5 0 -1 0 0 0 σj -1 0 1 0 30 x2 4 1 0 0 1 25 x1 5 2 1 0 0 -25 x3 0 x4 x3 x2 x1 b XB CB 0 0 4 5 Cj 最优解：X*=（30，20，0，0，5） -3 2 -