能量条件.DOCVIP

能量条件 纵观人类科学史，可以发现，一切理论或模型的成败，关键就在于，由人类经验语言构筑的用作认知标准的被称为“基本观念”的“刚杆或标尺”（scale），是否与客观存在物的本质相一致，是否与客观存在物的边界条件相一致.这对任何形式表述的理论，特别是空间理论，都是一样的. 首先对能量动量张量本身的形式做一个简单分析. 为了让度规张量的形式尽可能简化， 人们通常在所谓的正交标架场 (tetrad) 下讨论能量动量张量的形式[注一]. 正交标架场 (以下简称标架场) 由一组正交归一的基矢量 (ea)μ 张成， 其中拉丁字母 a, b, ... 标识标架场的基矢量， 希腊字母 μ, ν, ... 表示基矢量的时空指标. 标架场的基矢量满足下列正交归一条件： ηab(ea)μ(eb)ν = gμν, ? ? gμν(ea)μ(eb)ν = ηab 很明显， 标架场不是唯一的， 对一个标架场作局域 Lorentz 变换得到的仍然是标架场. 由于 Lorentz 群具有旋量表示 (切空间中的一般线性变换群 GL(4, R) 则没有旋量表示)， 因此标架场在讨论引力场与旋量场的相互作用时是非常重要的工具. 对于我们所要讨论的能量条件来说， 标架场的优点在于能量动量张量在标架场中的分量具有明确的测量意义. Hawking 曾经把标架场下的能量动量张量分为四种类型， 每种类型均可通过标架场中的 Lorentz 变换约化为一个正则形式 (canonical form). 这其中最重要的是第 I 类， 其正则形式为： Tab = diag(ρ, p1, p2, p3) 其中 diag 表示对角矩阵， ρ 为标架场中的静止观测者 (即世界线切线沿基矢 e0 方向的观测者) 测量到的能量密度， pi 则为沿三个正交空间方向的主压强. 除了极少数特殊情形外， 这种类型的能量动量张量涵盖了几乎所有物理上有意义的物质分布情形， 下面将只讨论这种类型. 第 I 类能量动量张量的正则形式其实就是该张量的对角化， 但能量动量张量是一个实对称张量， 按照线性代数中熟知的定理， 实对称张量必定可以通过正交变换对角化， 既然如此， 能量动量张量岂不都应该是第 I 类的？ 为什么在 Hawking 的分类中会出现不止一种类型呢？ 这其中的原因在于普通线性代数所讨论的内积空间具有正定的度规， 而广义相对论中的时空度规不是正定的 (请读者想一想， 度规的非正定性是如何破坏线性代数中有关实对称张量对角化的证明的？). 下面对几种主要的逐点能量条件做一个简单介绍： 弱能量条件 (weak energy condition): 对所有类时矢量 Va， TabVaVb ≥ 0. 利用 Tab 的正则形式， 我们可以证明： 弱能量条件等价于 ρ≥0 及 ρ+pi≥0 (i=1, 2, 3). 充分性的证明非常简单： 取 Va=e0 (即静止观测者) 可得 ρ≥0； 取 Va→e0+ei (注意 Va 是趋于而非等于 e0+ei， 因为后者是类光的) 则可得 ρ+pi≥0. 接下来再证必要性： 假设 ρ≥0 及 ρ+pi≥0， 则 TabVaVb = ρV02 + ΣipiVi2 ≥ ρ(V02 - ΣiVi2) ≥ 0 其中第一个 “≥” 用到了 ρ+pi≥0， 第二个 “≥” 用到了 ρ≥0 及 Va 类时. 在弱能量条件中最重要的部分是 ρ≥0， 它表明能量密度处处为正. 需要注意的是， 虽然上面的推导是在使正则形式成立的特殊标架场中进行的， 但 ρ≥0 这一结果适用于沿任意类时世界线运动的观测者所测得的能量密度 (请读者想一想这是为什么？). 由于物理上可以实现的所有观测者都是沿类时世界线运动的， 因此弱能量条件表明任何物理观测者测得的能量密度都处处为正. 在弱能量条件中让 Va 趋于类光， 由能量条件的连续性可以得到： 零能量条件 (null energy condition): 对所有类光矢量 ka， Tabkakb ≥ 0. 显然 (请读者自行证明)， 零能量条件等价于 ρ+pi≥0 (i=1, 2, 3). 零能量条件是一个非常弱的能量条件， 比弱能量条件更弱. 强能量条件 (strong energy condition): 对所有类时矢量 Va， [Tab-(1/2)gabT]VaVb ≥ 0. 由于 Einstein 场方程可以改写为 Rab = 8πG[Tab-(1/2)gabT] (其中 T=Taa 为能量动量张量的迹)， 因此强能量条件等价于一个几何条件 RabVaVb ≥ 0[注二]. 从物理上讲， 强能量条件等价于 ρ+Σipi≥0 及 ρ+pi≥0 (i=1, 2, 3). 这一点的证明非