多元函数的极限及连续习题.doc

多元函数的极限与连续习题 用极限定义证明:。 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 （1）； (2) ； (3) ； (4) 。 3. 求极限 （1）； （2）； （3）； （4）。 4. 试证明函数在其定义域上是连续的。 用极限定义证明:。 因为，不妨设， 有， ，要使不等式 成立 取，于是 ， ，： 且 ，有，即证。 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 （1）； ， ， 二重极限不存在。 或 ， 。 (2) ； 可以证明 所以 。 当，时，极限不存在， 因此 不存在， 同理 不存在。 (3) ； ， 当 P(x, y)沿着趋于（0,0）时有 ， 所以 不存在； ， 。 (4) ∴ ， ， 不存在。 求极限 （1）； ， 又 ， ∴ 。 （2）； 。 （3）； ， 而 故 。 （4）。 令，， 时，， 。 试证明函数在其定义域上是连续的。 证明：显然f(x, y)的定义域是xy-1. 当时，f(x, y)是连续的， 只需证明其作为二元函数在y轴的每一点上连续。 以下分两种情况讨论。 在原点（0,0）处 f(0, 0)=0, 当时 , 由于 不妨设 ， ， 从而 ， 取，当时， ， 于是，无论，当时，都有 在处。（ 当时， 当x=0时, , 注意到，当时 ， 于是，无论， 当时 ， 即 f(x, y)在在处连续， 综上，f(x, y)在其定义域上连续。