分数阶van der Pol振子超谐共振.pdfVIP

物 理 学报 ActaPhys．Sin．Vo1．63，No．1(2014) 010503 分数阶vanderPol振子的超谐共振冰 韦鹏 申永军十 杨绍普 (石家庄铁道大学机械工程学院，石家庄 050043) (2013年9月4日收到；2013年9月29日收到修改稿) 以含分数阶微分项的vanderPol振子为对象，研究其超谐共振时的动力学特性．首先，通过平均法得到 了系统的一阶近似解，提出了超谐共振时等效线性阻尼和等效线性刚度的概念，研究了分数阶微分项的系数 和阶次以等效线性阻尼和等效线性刚度的形式对系统动力学特性的影响．随后，建立了超谐共振时定常解的 幅频 曲线的解析表达式，得到了超谐共振周期响应的稳定性判断准则并提出等效非线性阻尼和非线性稳定性 条件参数的概念．最后，通过数值仿真 比较了分数阶与整数阶系统的幅频 曲线，分析了分数阶微分项的系数 和阶次对响应幅值、幅频曲线以及系统稳定性的影响． 关键词：分数阶微分，vanderPol振子，超谐共振，平均法 PACS：05．45．一a，45．10．Hj DOI：10．7498／aps．63．010503 性、数值和解析研究这三种方法，许多学者在这些 1 引 言 方面进行了研究．例如，申永军、杨绍普等 [1-4】研 究了一些含分数阶微分项的线性和非线性振子，比 分数阶微积分发展至今 已有300多年的历史， 较 了分数阶与整数阶系统并分析了分数阶微分项 但 由于长期没有 明确的物理意义和应用背景而发 中各个参数对系统动力学行为的影响．Gorenflo 展缓慢．早年间，由于相对落后的计算水平，关于 等 5【]、Jumarie[6]，IshtevaIT]以及AgnieszkaIs]等分 分数阶微积分的研究基本上处于纯数学理论的研 别针对Griinwald—Letnikov，Riemann—Liouville和 究阶段．而近几十年来，随着计算机技术的发展，分 Caputo的分数阶微积分定义和数值计算方法进 数阶微积分在理论和工程应用方面的研究引起 了 行了研究．王在华和胡海岩 通过对含分数阶导 不同领域 [1--30]科研人员的广泛关注并成为国际上 数阻尼的单 自由度线性振子的研究，发现分数阶导 的一个热点研究课题．对于分数阶微积分理论方面 数不仅起到阻尼力作用还能起到一定的弹性力作 的研究，目前主要是围绕分数阶微积分的定义、性 用．许勇和顾仁财等 [14]研究了非高斯Ldvy噪声激 质和计算展开研究．在工程应用方面，分数阶微积 励下非对称双稳系统的相转移和首次穿越问题．贾 分主要有两方面的研究：一类是用分数阶微积分可 红艳等 [16】研究了分数阶Lorenz系统的混沌特性并 以更加准确地描述各种材料的内在特性和本构关 设计了一个能够实现Lorenz系统的模拟 电路．陈 系；另一类是人为地引入分数阶反馈控制 以影响或 宁等 1【9]提出了一种利用有限元法求解分数阶导数 改变原系统控制特性，从而提高系统的控制效果和 黏弹性模型的方法，提高了处理分数阶导数黏弹性 鲁棒性．在工程领域 中，研究分数阶参数对动力系 问题的效率和精度．李常品等 l【5,23,24】在分数阶微 统的影响是很有趣也很有意义的，在这方面也有大 积分的数学理论方面进行了大量研究，建立 了一些 量学者进行了研究． 高效数值算法．Hu等 [25]提出了一