振动理论课后题部分汇总.docVIP

第一章 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子高h，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。 解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知 = 则 = 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 所以固有频率 一均质等直杆，长为 l，重量为W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角( (＝h( 2F＝mg 由动量矩定理： 其中 求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是和，悬臂梁的质量忽略不计。 解：悬臂梁可看成刚度分别为k1和k3的弹簧，因此，k1与k2串联，设总刚度为k1ˊ。k1ˊ与k3并联，设总刚度为k2ˊ。k2ˊ与k4串联，设总刚度为k。即为 ，， 2-4求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。 其中、和是三个轴段截面的极惯性矩，I是圆盘的转 动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G。 解： （1） （2） （3） （4） 如题2-5图所示，质量为的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。 解：此系统是一个保守系统，能量守恒 系统的动能为： 系统的势能为： 总能量 由于能量守恒 消去得系统的运动方程为： 系统的固有频率为： 如题2-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为，求系统的固有频率。 解：设曲臂顺时针方向转动的角为广义坐标，系统作简谐运动，其运动方程为。很小，系统的动能为 所以， 取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为，由 ， （A） 由题意可知，系统势能为 （B） 将（A）式代入（B）式，可得系统最大势能为， 由， 得 所以，有 一个有阻尼的弹簧--质量系统，质量为10 kg，弹簧静伸长是1cm，自由振动20个循环后，振幅从0.64 cm减至0.16cm，求阻尼系数c。 解：振动衰减曲线得包络方程为： 振动20个循环后，振幅比为： 代入,得： 又 ＝ c = 6.9 N s /m ， 一长度为l、质量为m的均质刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和阻尼固有频率的表达式。 解：图（1）为系统的静平衡位置，画受力图如（2）。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为： 当n＝pn时，c＝cC 如题2-9图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及固有频率。 解： 如题2-10图所示，质量为2000 kg的重物以3 cm/s的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。已知k =48020 N/m，c =1960 Ns/m，问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?最大振幅是多少? 解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为 所以有 ++x =0 其特征方程为：+r+=0 r =-0.494.875i 所以：x =cos4.875t+sin4.875t 由于n pn，由已知条件， ，，，m/s。 故通解为: 其中，。 （代入初始条件，当t=0时，x=0, =0 当t=0时，=0,=0.006 x=0.006sin4.875t =0.006(-0.49) sin4.875t+0.0064.875cos4.875 当=0时，振幅最大，此时t=0.03s。当 t=0.03s时，x=0.005m） 代入初始条件，得 ，得 物体达到最大振幅时，有 既得t = 0.30 s时，物体最大振幅为 cm 由实验测得一个系统的阻尼固有频率为，在简谐激振力作用下出现最大位移值的激振频率为，求系统的无阻尼固有频率、相对阻尼系数及对数衰减率。 解：， ， ； 三个方程联立，解得： 第二章 2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s，相邻两振幅的比值，若质量块受激振力N的作用，求系统的稳态响应。 解：由题意，可求出系统的运动微分方程为 得到稳态解 其中 由 又 有 所以 x＝1.103 cos(3t－51(27() 2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率rad/s时，系统发生共振；给质量块增加1 kg的质量后重新试验，测得共振频率rad