例析数列求及的基本方法及技巧(朱木良).docVIP

谈谈数列求和的方法和技巧 云霄四中 朱木良 数列是一种特殊的函数，是高考必考内容之一。由于它知识丰富，思想性、方法性强而且应用非常广泛，因此在高考中占有重要的地位. 而数列求和是数列的一个重要内容，对于等差数列和等比数列可以直接利用公式，大多数数列的求和也有一定的技巧和方法. 考生应明确考试大纲和课程标准；另一方面、熟读高中的数学课本，掌握好基础知识、技能和方法。根据考纲的要求，找到自己的不足和缺陷，逐一解决，提高复习备考效率。再通过一些有针对性的训练，认真总结，掌握几类常见数列的求和方法，那么我们就不会在考试中对数列问题束手无策。下面，笔者粗略谈谈数列常见的求和的基本方法和技巧。 一、利用常用求和公式求和 如果是等差或等比数列，可以直接利用公式求和 （1）等差数列： （其中：：前n项和，：首项，：末项，d：公差，n：项数，下同） （2）等比数列： 自然数的方幂和公式： (1) 自然数的和 （2）自然数的平方和 （3）自然数的立方和 例1.1:求和： 分析：注意到个项都含有cos,提起公因式后可得到一个等比数列，然后利用公式。 解：设所求之和为，则 ，这是公比为的等比数列前项之和. （1）、若即则有 （2）、若即则有 例1.2已知是一个首项为，公比为的等比数列，求 解：由已知得， 是首项为，公比为的等比数列。 当时， 当时， 点评:(1)对于等差或等比数列，可以直接利用以上公式求和。 (2)利用等比数列求和公式．当公比未知时，应对其是否为1进行讨论。 　 (3)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n项． 二、分组求和法 对于既不是等差又不是等比的数列，如果把数列各项拆开后重新组合，能得到常见的数列，则可分组求和． 例2.1：求和： 分析：注意到各项前半部分2，4，6，……2n,是成等差，后半部分提起公因式3后得到等比数列 解： 例2.2：求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和. 解：设 ∴ ＝ 将其每一项拆开再重新组合得 Sn＝ （分组） ＝ ＝ （分组求和） ＝ 注意：准确把握等比数列的公比、等差数列的公差，及项数。 三、错位相减法求和 如果一个数列的各项，是一个等差数列各项与一个等比数列各项的积。求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比,求数列、、……的前项和 分析：的值不确定，因此要讨论和两种情况。 解：若， 若，， 此时，该数列是等差数列1、2、3…与等比数列、、…各项积构成的数列，且公比，在上述等号两边同时乘，有 两式相减得 所以， 从而得 注意：1 要考虑 当公比x为值1时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项 四．倒序相加法 倒序相加法是推导等差数列的前n项和公式时用到的方法。即如果一个数列{an}，与首末两项距离相等的项之和相等，可用此法求解。 例4、已知， ，是函数图象上两个点，且线段的中点的横坐标为． （Ⅰ）求证：点的纵坐标是定值； （Ⅱ）若数列的通项公式为求数列的前m项的和。 （Ⅰ）证明：由题可知：，所以， 点的纵坐标是定值，问题得证． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知：对任意自然数，恒成立． 由于，故可考虑利用倒写求和的方法．即由于： 所以， 所以， 五、裂项相消法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.将数列的通项公式拆成两项之差，可以消去中间某些项，剩下有限的几项. 常见裂项方法有： 1． 2． 3． 4． 例5.1： 求数列的前项和 分析：此数列的分子是﹙2n﹚2的平方，分母是﹙2n+1﹚﹙2n-1﹚，是平方差，所以把分子添项配凑出分母，化简分式，然后再裂项，有 解：=n+ 例5.2：设定义在R上的函数对任意实数满足关系式对正整数令且，设，求数列的和 解：由题设有 即所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列 从而，于是 因为 所以= = 小结：注意哪些项可以消去，剩下的有几项，不要漏掉。 六．合并法求和 对某些特殊的数列，如果把某些项先合并后能得到特殊的结果，那么在求和时，可以把某些项分别合并后求和，然后再求出数列的和。 例6.1、在各项均为正数的等比数列中，若的值 分析：考虑到等比数列的性质 和对数的运算性质 解：设 （合并求和） ＝ ＝ ＝10 例6.2求的值。 解：设 ∵ ∴ 七．利用数列的通项求和 观察分析通项的基本特征，把通项变形，找出规律求数列的和。 例7.1、已知数列为等差数列，公差，其中，恰为等比数列，若，求。 解：设首项为，公差为 ∵ 成等比数列 ∴ ， ∴， ∴ ，设等比数列公比为，则 ，对项来说， 在