复变函数第17讲.ppt

* 三、单位脉冲函数及其傅立叶变换 2. 单位脉冲函数的实际背景。 历史上首先是由物理学家狄拉克在量子力学中引进的，此后在经典物理及工程技术中也被广泛地采用。 1. 单位脉动函数 例如断电以后的突然来电等。 3. 单位脉冲函数的理解与定义。 理解： 广义函数，没有普通意义下的函数值 定义： 单位脉动函数的弱极限。 3. 单位脉冲函数的性质 注意，此积分不是普通下的积分。 一些工程书中，δ-函数常用一个长度等于1的有向线段来表示。 一般表达式 更一般的表达式 这一性质在近代物理和工程技术中有着较广泛的应用。 例1： 求单位脉冲函数的傅氏变换 。 四、由δ-函数引出的广义傅立叶变换 需要指出的是，此处的广义积分是按(1)式计算的，不是普通意义下的积分值，我们称这种傅氏变换为广义的傅氏变换。 根据傅氏积分公式，函数f(t)能取傅立叶积分变换的前提条件是它首先应绝对可积，即 实际上这个条件非常强，它要求f(t)，因而一些常见的函数都不满足这一点，如 如此以来，较强的条件使得傅立叶变换的应 用受到限制。为克服这一缺陷，我们单位脉冲 函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换 中，得到它们的广义傅氏变换。实际运算时，我 们通常用傅氏逆变换来推证。 例1： 称为单位跃阶函数 证：首先注意，u(t)非绝对可积，因而这里的变换显 然指的是广义变换。 我们用考察逆变换的方法证明： 只需计算前一积分即可，而由已知结果： 立即得到： 同理t0时,有 当t0时 综上所述，有： 解：由定义： 特别地， 注：由上题计算得到： 特别提示： 常数1显然是一广义积分发散的函数，但可取 广义傅立叶变换。 另外，由上式马上导出正弦、余弦的付氏变换： 同理可得： 补充一点：单位阶跃函数u(t)也叫Heaside函数，它 与δ-函数有着密切的联系： 注：我们介绍δ-函数，主要是提供一个应用工具，而不去追求数学上的严谨性。 练习： 提示：转化为单位阶跃函数u(t)来求 §1.3 傅立叶变换的性质 为了能更好的用傅立叶变换这一工具解决各类 实际问题，它的一些基本性质必须熟练掌握。 一、线性性质： 傅立叶逆变换也是一种线性运算。 k为常数 上述性质可统一为： 二、位移性质： 所谓位移性质是指原函数的傅氏变换与其位移 函数的傅氏变换之间的关系。 原象函数位移： 象函数位移： 显而易见，位移公式的作用是：知道了一个函数 的变换，便可由此求出其位移函数的变换！ 不仅如此，而且还可求出它乘以一适当的指数项 后的变换！ 证明： 其它可类似证明。 三、微分性质： 所谓微分性质，它给出了导函数的傅氏变换与 原函数的傅氏变换之间的关系： 证明：