圆锥曲线极点与极线的一组性质.pdf

22 中学数学教学 2010年第4期 圆锥曲线极点与极线的一组性质 湖北省阳新县高级中学邹生书 (邮编：435200) l 圆锥曲线极点和极线的定义 (1)根据隐函数求导法则，方程Ax2+Cy2+ 已知阋锥曲线C：触2+回2+2Dx+2Ey+ F—O(A2+C2≠0)，则称点P(x。，y。)和直线l： Ax +D+毋7一o，所以，Y7一一群，所以k= o丁+国oY+D(z+T。)+E(y+yo)+F一0 是圆锥曲线(?的一对极点和极线． 一万Az—oT+卞D，故圆锥曲线在点P处的切线方程为 2 圆锥曲线的极点和极线的几何意义 Lyo十B 定理l 已知点P和A线￡是圆锥曲线C的 在曲线位吲甄 YP点到意注，)o～yoz—zyo()i卜-_o—x万A ～万■而oz—zo，，扯恳到恩 一对极点和极线． (1)若极点P在曲线C上，则极线，就是曲线上，所以有触3+回：+2Dx。+2Ey。+F一0，代 C在点P处的切线； 入切线方程，化简得切线方程为触。z+Cy。Y十 (2)若过极点P可作曲线C的两条切线，M、 C在点P处的切线； N为切点，则极线z就是直线MN； (3)若过极点P的直线与曲线C相交于M、 N两点，则曲线C在M、N两点处的两条切线的 交点Q在极线z上． (4)若过极线Z上一点Q町作C的两条切线， M、N为切点，则直线MN必过极点P． 证明 设极点为P(x。，y。)，则极线Z：Ax。童 3,0)+F一0，故极线z就是直线MN； +国oy+D(x+zo)+E(y+yo)+F一0． 由③、⑤知T_去丌+T_高玎=T_缶．PBI—fQPI+lQBl，代人定理(1)中的式子 整理即得要汪的式子．同理可证(2)中的式子 (2)如图2，由 n／’ 成立． 于尸在椭圆内，因 ， 一2 此PA、PB的方向 彳长 ‘、＼ 推论2 设P(xo，弘)是圆锥曲线r(椭圆≥ 相反，即￡1t20，又 l(口o， PA PB ／≮．)i+矿22=1(口6o)、双曲线手一y_61。5 Il l，故 1 1 l刚I PB 图2 一上一上一 它对应的极线为L． t，f t：I (1)若r为椭圆或双曲线，OP(o为中心)或 l￡l+t2 OP的延长线交r于R，交L于点Q，则 t 2； Jt2 I． 0P|．I∞}=}OR 以下的证明可仿照(1)的证明进行，从略． (2)若r为抛物线，Z是r在顶点。处的切线 推论1 在定理的条件下，有 (即y轴)，过点P作z的垂线，交L于Q，交工1于 (1)当P在r外时， R，则