圆锥曲线典型问题和题型.doc

圆锥曲线典型问题和题型 1. （2011，陕西，文17)设椭圆C: 过点（0，4），离心率为 （Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标 解：（Ⅰ）将（0，4）代入C的方程得?∴b=4 又 得即，? ∴ ?∴C的方程为 （?Ⅱ）过点且斜率为的直线方程为， 设直线与Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，将直线方程代入Ｃ的方程， 得，即， 解得，， AB的中点坐标， ， 即中点为。 2.(2011，天津，文18)设椭圆的左、右焦点分别为,点满足. （Ⅰ）求椭圆的离心率; (Ⅱ)设直线与椭圆相交于A,B两点.若直线与圆相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程. 解析：（Ⅰ）设，（），因为， 所以， 整理得，即， 解得. (Ⅱ)由（Ⅰ）知,可得椭圆方程为,直线的方程为, A,B两点坐标满足方程组,消y整理得, 解得或, 所以A,B两点坐标为,,所以由两点间距离公式得|AB|=, 于是|MN|=|AB|=,圆心到直线的距离, 因为, 所以, 解得, 所以椭圆方程为. 3.（2011，全国新课标，文20)在平面直角坐标系中，曲线坐标轴的交点都在圆C上， （1）求圆C的方程； （2）如果圆C与直线交于A,B两点，且，求的值。 解：（Ⅰ）曲线 因而圆心坐标为则有 半径为，所以圆方程是 （Ⅱ）设点满足 解得： 4.（2011，北京，文19）已知椭圆的离心率为，右焦点为。斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为。 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求的面积。 解析（Ⅰ）由已知得解得又所以椭圆G的方程为 （Ⅱ）设直线l的方程为由得设A、B的坐标分别为AB中点为E，则因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率解得m=2。此时方程①为解得所以所以|AB|=.此时，点P（—3，2）到直线AB：的距离所以△PAB的面积S=19）已知抛物线：过点（）求抛物线的方程，并求其准线方程； （）是否存在平行于（为坐标原点）的直线，使得直线与抛物线有公共点，且直线与的距离等于？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。 解：（）将代入，，所以故所求的抛物线的方程为，其准线方程为（）假设存在符合题意的直线l ，其方程为， 由，得 因为直线与抛物线有公共点，所以得，解得 另一方面，由直线与的距离，可得，解得 因为，，所以符合题意的直线存在，其方程为（ab0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）. (i)若，求直线l的倾斜角； （ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值. 解析: （Ⅰ）由e=，得.再由，解得a=2b. 由题意可知，即ab=2. 解方程组得a=2，b=1. 所以椭圆的方程为. (Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）. 于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得 . 由，得.从而. 所以. 由，得. 整理得，即，解得k=. 所以直线l的倾斜角为或. （ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为. 以下分两种情况： （1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是 由，得。 （2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。 令，解得。 由，， ， 整理得。故。所以。 综上，或 7. （2010，辽宁，文20）K^S*5U.C#设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆 相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为. （Ⅰ）求椭圆的焦距； （Ⅱ）如果,求椭圆的方程. 解析：（Ⅰ）设焦距为，由已知可得到直线l的距离 所以椭圆的焦距为4. （Ⅱ）设直线的方程为 联立 解得 因为 即 得 故椭圆的方程为 8.（2009，山东，文22）设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知,设直线与圆C:(1R2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解析:（1）因为,,, 所以, 即. 当m=0时,方程表示两直线,方程为; 当时, 方程表示的是圆 当且时,方程表示的是椭圆; 当时,方程表示的是双曲线. (2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为, 解方程组得,即, 要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使△=, 即