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7卜7 兰 州 铁 道 学 院 学 报 12卷 3期 JOURNALOFLANZHOU RAILWAY INSTITUTE Vo1．12．No．3．1995 关于E一矩形理想半群 l 田 振 (基础课邵 ) 摘 要 本文定叉 了一类新 的半群 ．即所谓 的 一矩彤理 想半群，给 出了它 的若 干特征硬其特例，讨论 了它具有强 一矩形性 的特珠情彤，并建立 了这类半 群 的 结构 。 关键词 一拒开j理 想半群，强E 妊彤理 想半群，双理 想 ．部分半群 ～ -～ —— — — ——* 一 分类号 0152．7 1 基本定义、特征及特 半群称为 一正则的 如果它的任 一元素曲若干次幂是jE川的}称仅含一个幂等元 的半 群为幂 幺半群 。如果半群s的任一元素的若干次幂为霉等元 ，则称s为周期半群 。 半群s的子半群 称为双理想，如果ASA ． 文中未特别说明的概念、术语及符 号均参见 1，2]． 定义1 半群s称为 一矩形理想半群 ，如果 S的幂等元集E(s)是矩形带 ，且是 s的理 想 ● E一矩形性拟正到半群是 由任学明等在 2]中所定义的一类半群 。由[3]中定理 l、2可 知，E 矩形理想半群类 以 一矩形性拟正州半群类为其真于类， ( ，n)一理想半群[I]也 是E一矩形理想半群类船真子类 。 定理1 设s为半群， 为其幂等元集，则下列诸条件等价： (1)S为E一矩形理想半群 ； (2) (Ve∈E)(VxES)exe= { (3)E为单半群，且存在 ∈E，使得()是s的双理想} (4)(V ，，∈E)(Vx∈S)exf= ，{ (5)E为矩形带，且五为s的双理想。 证明 (1) (2) 设s为E一矩形理想半群 则E为矩形带 ，且为s的理想 ，则关于所 有的 ∈E， ∈S，有 ∈正．不妨设 = ，于是ge=eg=g，从而g= ，即有 = ． 设穰 日期 g3—0l—l1 72 兰 州 铁 道 学 院 学 报 第12卷 (2) (3) 若S满足 (ve∈E)(Vx∈S)eze= 显然，F为矩形带，且 的任一单元集为双理想 。因此 为单半群 。 (3) (4) 若 三为单半群，e∈E，且 {}为双理想。由于周期的单半群为完全单半 群，而完全单半群为群的矩形带，因此可得 是矩形带。于是对任意的f，g∈E， ∈S ， 缸g=fefxgeg=f( fxg)eg= {eg=tg 这就证明了 (3) (4) ． (4) (5) 设对任意的 ，f∈ 及 ∈S，有exf= f。特别取 =fe，则(f)=ef， 即 为子半群 ，且显然为矩形带。另外，ESE三 ．因此，卫为S的双理想。 (5) () 任取 ∈正， ∈S，则 由 =g∈ 得 ( )。 e ， (P ) = =跗 因此 ， ∈ ，即 为S的理想，故s为正一矩形理想半群 。 推论1 五一矩形理想半群S的幂等元素集为S的核 。 推论2 E一矩形理想半群S为正则的，当且仅当s为矩形带。 推论3 一矩形理想半群S为 一正则的，当且仅当S为周期半群 。 证明 充分性显然