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第 6 章 数 值 积 分 6.5 复化求积公式 龙贝格(Romberg) 算法 Gauss型求积公式 例2.6 试确定求积公式中的系数 A, B, C 时期代数精度尽量高，并确定代数精度。 解 例 2.7 计算中矩形求积公式的误差： 解 例2.8 计算 使计算结果有5位有效数字。 分别用复化梯形和复化辛普森求积公式，求分点数。 解 由复化梯形误差公式得 由复化辛普森误差公式得 由于含有两个求积节点的Gauss型求积公式，具有3次代数精度，因此对于f(x)=1,x,求积公式准确成立，故 求积公式为 例 在[-1,1]带权1的二次正交多项式是Lagendre多项式 解： 由于含有两个求积节点的Gauss型求积公式，具有3次代数精度，因此对于f(x)=1,x,求积公式准确成立，故 定理 定理 定理 证明： 证毕。 证明： 由Weirstrass定理， 证毕。 Gauss-Legendre求积公式 Gauss－Chebyshev求积公式 习题讲解 基本内容及基本要求 了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的收敛性和稳定性。 掌握牛顿-柯特斯公式及其性质和余项。 掌握复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。 了解龙贝格(Romberg)求积算法，知道外推法。 会高斯求积公式,了解高斯-勒让德求积公式和高斯-切比雪夫求积公式。 二、练习 Newton-Cotes求积公式的积分余项 定理： 用Rn(f)表示含有n+1个求积节点的Newton-Cotes求积公式的余项，则： 一、复化梯形求积公式 复化辛普森公式 1 0.9973978 … … … … … … … … … … 0.8414709 f (xi) 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 xi 例 解： 采用复化梯形公式时， 例 解： 采用复化Simpson公式时， 梯形公式的递推公式 (变步长求积法) 6.6 龙贝格(Romberg) 算法 计算步骤 龙贝格（Romberg)公式 计算步骤 0.9460831 0.9460831 0.9460833 0.9456909 3 0.9400830 0.9460869 0.9445135 2 0.9461459 0.9397933 1 0.9207355 0 R2k-3 C2k-2 S2k-1 T2k k 理查森(Richardson)外推技巧 上述处理方法称为理查森(Richardson)外推加速方法. 一般理论 例 解： 令求积公式对于f(x)=1,x,x2,x3准确成立，得： 由第2式和第4式得 代入第2式，得 与第1式比较，可知： 进而由第1式得到： 不妨设x00,将x1=-x0,A0=A1=1代入第3式,得 易知，其具有3次代数精度。 注意 不存在这样的节点xi?[a, b] (i=0,1,2,…,n) 和求积系数Ai (i=0,1,2,…,n),使求积公式： 的代数精度高于2n+1次。 事实上， 证明： 必要性 q(x)是任意的次数不超过n次的多项式， 由于求积公式具有2n+1次代数精度，从而 即，?n+1(x)与任一n次多项式q(x)在[a,b]上带权?(x) 正交。 从而，?n+1(x)是[a,b]上带权?(x)的n+1次正交多项式。 充分性 于是， 证毕。 例 解法一： 令求积公式对于f(x)=1,x,x2,x3准确成立，得： 不妨设 由第1、2式得： 由第3式和第4式得： 得到 求积公式为 解法二： 首先求区间[0,1]上带权 的二次正交多项式?2. 得到 * 6.1 求积公式及其代数精度 数值求积公式的一般形式为 式中的xk(k=0,1,…,n)称为求积节点，并且有 称为求积公式(6.1)的截断误差或余项。 代数精度的概念 则求积公式的截断误差或积分余项为 具有m次代数精度 由于积分运算和求和运算都具有线性性质。 容易得到代数精度的如下等价定义： 如果 于是， 解： 解得 此时， 解： 解得 此时， 更一般地，含有被积函数的导数的求积公式也同样可用代数精确度定义建立. 例 对于求积公式 试确定系数A0,A1及B0，使该求积公式具有尽可能高的代数精确度 .若已知其余项表达式为 求其余项。 解: 当  解得 故求积公式的代数精度为 2. 为求余项可将