11-1201期中试题A(答案).doc

一、选择题：（每题4分，共20分） 当时，函数是（ ）. A、无穷小 B、 无穷大 C、有界但不是无穷小 D、无界但不是无穷大 2、设当时，是比高阶的无穷小，而是 比高阶的无穷小，则正整数（ ）. A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 3、设函数，则（ ）. A、， 都是的第一类间断点 B、， 都是的第二类间断点 C、是的第一类间断点， 是的第二类间断点 D、是的第二类间断点， 是的第一类间断点 4、设函数，则在处（ ）. A、极限不存在 B、极限存在，但不连续 C、连续但不可导 D、 可导 5、若在上连续，在内可导，且，，则必有（ ）. A、 B、 C、 D、 二、填空（每小题4分，共20分） 1、若函数在处连续，则的取值范围是 . . 设函数在点处可导，且，则曲线在原点处的 切线方程是 . 4、设函数，则 . 5、设生产函数为，其中是产量，是劳动投入量，是资本投入量，而 均为正数，则时，关于的弹性为 . 计算：（每题7分，共42分） 1、. 2、. 设函数具有连续导数，且，求. 设，求. 5、求函数在处的阶导数. 6、设方程确定函数，求. 证明与应用：（每题6分，共18分） 1、设函数在上有定义，且满足. 证明：存在且等于1. 2、设在上连续，在上可导，，， 证明：至少存在一点，使得。 设某商品的需求量是价格的单调减函数：，其需求弹性为 ，（1）设为总收益函数，证明. （2）求时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义. 附加题：（10分）依次求解下列问题： (1)证明方程有唯一的实根； (2)证明存在并求其值A； (3)证明当时，与是同阶无穷小. 参考答案 选择题：（每题4分，共20分）1、D 2、B 3、D 4、D 5、C 二、填空（每小题5分，共20分） 1、。2、1 。3、。4、。5、。 三、计算及证明：（计算每题6分，证明每题10分，共60分） 1、 因为 所以 因为， . 求函数在处的阶导数. 又 所以 6、因为, 所以 证明与应用：（每题6分，共18分） 1、因为,当时, 由夹逼定理有 又时, ,由夹逼定理有 所以存在且等于1. 因为在上连续， ， 由，,至少存在一点使得 或，由连续零值定理有至少存在一点使得 又在 上作辅助函数满足罗尔中值定理的条件, 至少存在一点,使得即。 3、 （1）因为，所以 （2）因为 所以， 经济意义：当时，价格上涨1%，则总收益增加0.54% 附加题：（10分）证：（1）令，则 ， 由连续函数的零点定理知，对任意给定的自然数n ，均存在，使得， 又因为 ，所以函数关于x严格单调增加， 故函数有唯一的实根，即对任意给定的自然数n， 方程有唯一的实根。 （2）由于 ，即 ，因为,且， 所以 ，故。 （3）因为 ，故与是同阶无穷小。 上式用到了 的等价无穷小代换。 2 厦门大学《高等数学（AC）》课程试卷 ＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业 主考教师： 试卷类型：（A卷）