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解二次方程的‘规矩’1
This is the pre‐published version. 1 解二次方程的「規矩」 梁景信 香港教育學院 數學與資訊科技學系 ksleung@ied.edu.hk 引言 解實系數二次方程，一般用三類方法：（1）代數法（因式分解、配方、用求根公 式），（2）圖解法（畫出二次函數的圖象），（3）數值法（二分法、Newton 法）。其實還有一個較少人知的幾何作圖法(參看[1])。此法結合數學的兩大範疇：代 數與幾何，且不難學，因而十分適合高中學生學習。本文除介紹這個方法外，還用幾 何法導出以下三個有關二次方程的重要結果：根和系數的關係、判別式和實根數目的 關係、求根公式。 方法和原理 考慮實系數二次方程(E ) : x 2 +bx +c 0 ，其中bc ≠0 。在方格紙上標出 和 A (0,−1) B(−b,−c)兩點，以圓規和直尺作圖，可得 的中點 ，再以 為圓心， 為半徑作 AB O O OA 一圓 。若 與 軸相交於兩點 和N (β,0) ，則方程 有兩相異實根 和β (C) (C) x M (α,0) (E ) α （圖1）（不妨假設 ）； 若只與 軸相切於一點 ， 則 有一重實根 x P (γ,0) (E ) γ （圖2）；若與 軸不相交， 則 沒有實根（圖3）。圖1－3都是表示 的情 x (E ) c 0 況，讀者可自行繪畫當 c 0的圖象。 y y N β M α D ( ,0) ( ,0) (0,0)
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