浙江师范大学初等数学竞赛试题.doc

2015年浙江师范大学初等数学竞赛试题答案 每题20分，共160分 1. 已知函数数列满足证明数列. 解 若，下用数学归纳法证。 (ⅰ)当时，； (ⅱ)设当时，。又因为，所以。 由(ⅰ)(ⅱ)可得，对于任意，。 此时，所以。 令，则，所以在单调递减，所以，即当时，。又，因此，故，所以数列. 同理可证，当时，数列数列 【1.a1正负分类讨论，不分开-5分 2.其他证明过程酌情给分】 2.已知函数，数列满足，当时，恒有。若存在，请写出满足的关系式，若不存在，请说明理由. 解 实数存在，满足…①。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 先证方程①有且仅有唯一解。令，则。当时，，所以在单调递增。又因为，，所以在有且只有一个零点，即存在唯一实数使得方程①成立。 下用数学归纳法证明，当时，当时，恒有。.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 （ⅰ）当时，； （ⅱ）设当时，。因为，所以。又，所以，即，因此。 由（ⅰ）（ⅱ）可得，当时，恒有。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 【1.只写出关系式给4分，超简略说明给6分，只证明不给分或酌情给分 2.关系应该为等式，如果出现不等式统统给8分 3.给出关系式，加完整说明给满分，不需要和答案一致，合理即可。】 3. 如下图，已知曲线C：y＝x2 (0≤x≤1)，O(0，0)，Q(1，0)，R(1，1)．设点A1是线段OQ的中点，过A1作x轴的垂线交曲线C于P1，过P1作y 轴的垂线交RQ于B1，记a1为矩形A1P1B1Q的面积．点A2，A3分别是线段OA1，P1B1的中点，过A2，A3分别作x轴的垂线交曲线C于P2，P3，过P2，P3分别作y 轴的垂线交A1P1，RB1于B2，B3，记a2为两个矩形A2P2B2 A1与矩形A3P3B3B1的面积之和． (Ｉ) 记an为2n－1个矩形面积之和.求a2与an； (Ⅱ) 求数列的前n项和Sn． 解 (Ｉ) 由题意知 P1(，)， 故 a1＝×＝． 又 P2(，)，　P3(，)， 故 a2＝×[＋－]＝×(12＋32－?2)＝． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 由题意，对任意的k＝1，2，3，…，n，有 (，)，　i＝0，1，2，…，2k－1－1， 故 an＝×[＋－＋－＋…＋－] ＝×[12＋32－?2＋52－?2＋…＋(2n－1)2－(2n－2)2] ＝×{1＋(4×1＋1)＋(4×2＋1)＋…＋[4×(2n－1－1)＋1]} ＝× ＝． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 所以 a2＝，　an＝，　n∈N*． (Ⅱ) 由(Ｉ)知 an＝，　n∈N*， 故 Sn＝－＝－＝． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。20分 【1．本题关键得出答案，对于给不出答案的过程没有分； 2. a2的没有约分，-1分； 3.最终答案和正确答案化简形势不同没有关系，改卷时经过验证。】 4. 在中，角所对的边分别为，已知成等比数列，且． (1) 求角的大小； (2) 若，求函数的值域． （Ⅰ）因a、b、c成等比，. 由正弦定理得. 又，.sinB＞0. 由B∈(0，π)B＝或. 又，则或，即b不是△ABC的最大边，故. （Ⅱ）因， . 因，，. 值域是. 【 1.第一小问必须说明2π/3不可能取到，否则 -5分（cosB0,或其他方式可排除的给满分）； 2．第二问区间开闭错误，-2分，全为开区间-5分； 3. 最大最小值一个错误，-5分； 4.辅助角公式的比例系数3忘记乘，最终值域为{-1/2,1}，-5分；】 .， (1)当，是增函数，求的取值范围；； (2)当，且对任意，关于的方程总有三个不相等的实数根，求的取值范围. （1） 因连续，递增， ， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 【没有等于号，-2分】 （2）， 当，，在上递减，在上递增，所以， 对恒成立，解得 14分 当，，在上递减，在上递增，所以 所以对恒成立，解得2分】 综上 【本题根据答题的讨论情况，对于第二问，即使错解，按篇幅酌情给以2~4分】 6. 已知且求证 证（1）若等号成立。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分 （2）