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极小值原理的应用：时间，燃料最优控制问题 目录 一.Bang-Bang控制原理 二.线性定常系统的时间最优控制 三.燃料最优控制 四.时间-燃料最优控制 五.习题 六.总结 时间最优控制 时间最优控制问题，是可以运用极小值求解的一个常见的工程实际问题。如果把系统由初始状态转移到目标集的时间作为性能指标，则使转移时间为最短的控制称为最短时间控制，亦称最速控制。 一、Bang-Bang控制原理 1.移动目标集的时间最优控制问题 已知受控系统的状态方程为： 寻找满足不等式约束的 r 维容许控制向量 u(t), 使系统从初始状态 出发， 在末态时刻 ，首次达到目标集 其中g是p维向量函数, 且使 最小值的最优控制u(t). 上述问题用极小值原理求解，构造哈密顿函数为： 规范方程、边界及横截条件分别为: 极值条件为： 可得 式中 sgn(*) 为符号函数，令 则最优控制分量应取 在最优轨线末端，哈密顿函数应满足 由以上条件知：若 , 则可以运用极小值原理确定 ，此时称为正常情况。若 不确定，可取满足约束条件的 任意值，此时称为奇异情况。 2.正常和奇异控制问题 设在区间 内，存在时间可数集合， 使有 在时间最优控制是正常的 在区间 ，至少存在一个子区间， 使得对所有 ，至少有一个函数 则时间最优控制是奇异的，称 为奇异区间。 3.Bang-Bang控制原理 设u*(t) 是上述问题的时间最优控制，x*(t)和 是相应的状态向量和协态向量。若问题正常，则最优控制为： 定理表明，每个控制分量 恰好在自己的两个边界值之间来回切换，满足 的各个点正好是切换点。这是一种继电型控制或开关控制，故有邦-邦控制之称。 线性定常系统的时间最优控制 设线性定常系统 是完全可控的，求满足下列约束的容许控制向量 u(t)： 使系统从已知状态x(0)=x0转移到状态空间原点x(tf)=0的时间最短，性能指标为 在解决上述问题之前，应该先判断它是否正常。 定理1 令 式中 ，当且仅当m个矩阵 中，至少有一个是奇异矩阵时，它则是奇异的。 定理2 当且仅当 式中 ，上述问题是正常的。 定理3 若上述系统是正常的，且时间最优控制存在，则最优控制必定唯一。 定理4 有限切换（开关次数）定理 设线性定常系统是正常的，nxn系统矩阵A的全部特征值均为实数，时间最优控制 存在，其分量为 。令 表示 的切换时刻，则 在两个边界值之间的切换次数N≦n-1.(n为系统的维数） 定理5 当系统正常是，存在最优解的必要条件为： 正则方程 式中哈密顿函数为 边界条件 极小值条件 若A有全部实特征值，则 的切换次数为N≦n-1. H函数变化率 燃料最优控制 在工程实际中，常常需要考虑是控制过程中所消耗的能量最小。此时控制作用表现为推力或力矩的大小和方向。若以非负量 表示燃料的瞬时消耗率，则控制过程中所消耗的的燃料总量为 ,仅考虑如下形式的关系： 式中 是 m 维控制向量u(t)的第j个分量，CJ为比例系数，称为比耗。为了保证控制过程中最省燃料，选择燃料消耗总量作为性能指标 二次积分模型的状态方程： 求满足约束条件 的最优控制 ，是系统有任意初态 ，转移到状态空间原点（0.0）且使性能指标 为最小。设末端时刻 tf 自由。 正则方程，哈密顿函数 则有 边界条件 极小值条件 函数变化律 H函数的最优控制 取极小值时，等价于函数 对最优控制