平面三角公式之几何渊源.pdf

數學傳播 31 卷 3 期, pp. 53-69 平面三角公式之幾何淵源 汪曉勤 自19世紀德國生物學家海克爾 (E. Haeckel, 1843 ∼ 1919) 所提出的生物發生學定律– “個體發育史重蹈種族發展史”被應用於教育後, “歷史發生原理”便應運而生。 就數學教育而言, 該原理說的是: 學生對數學概念的認知過程與數學概念的歷史發展過程具有相似性。 德國數學 家 F ．克萊因 (F. Klein, 1849 ∼ 1925)、 法國數學家龐加萊 (H. Poincare, 1854 ∼ 1912)、 匈牙利數學家和數學教育家波利亞 (G. Polya, 1887 ∼ 1985)、 荷蘭數學家和數學教育家弗賴 登塔爾 (H. Freudenthal, 1905 ∼ 1990)、 美國數學家和數學教育家 M. 克萊因 (M. Kline, 1908 ∼ 1992) 等都是該原理的支持和提倡者。 龐加萊主張, 數學課程的內容應完全按照歷史 發展順序展現給讀者, 他指出: “動物學家堅持認為, 在一個短時期 內, 動物胚胎的發育重蹈所有地質年代其祖先們 的發展歷史。 人的思維發展似乎也是如此。 教育工作者的任務就是讓孩子的思維經歷 其祖先之所經歷 , 迅速通過某些階段而不跳過任何階段。 鑒於此 , 科學史應該是我們 的指南。”(Kline, 1970) 波利亞指出: “只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識, 我們才能對人類的孩子應該如何 獲得這樣的知識作出更好的判斷。” 弗賴登塔爾則稱 “年輕的學習者重蹈人類的學習過程, 儘管 方式改變了”(Ernest, 1998)。 因此, 數學歷史作為考察數學教學有效性的一個重要視角, 長期以來一直受到數學教育家 們的普遍關注, 我們從眾多教育取向的數學史研究 (如 Cajori, 1917; Kline, 1958; Hallerberg 等, 1969; Kline, 1970; Katz, 1998; Katz, 2000b 等等) 中可以看出這一點。 就三角學 而言, 早在 20世紀 60 年代, Aaboe 就曾指出: 該學科的歷史發展順序是更為 自然的教學順序 (Katz, 2000a)。 因此, 對於學生視若畏途的三角公式, 教材編寫者和教師理應參考其發展歷史。 然而, 數學史文獻 (包括教育取向的數學史研究文獻) 中, 對三角學歷史反映不足 (Grattan- Guinness, 1994), 數學教師對該課題缺乏深入瞭解。 本文試圖通過對 17世紀以前平面三角公 式歷史淵源的考察, 尋求三角公式的教學啟示和教學素材。 53 54 數學傳播 31 卷 3 期 民 96 年 9 月 1. 托勒密 在三角學發展的初期, 天文學家關心的是一段長度已知的弧所對弦的長度。 如圖 1所示, 在 單位圓中, 弧長 (圓心角) α 所對弦長 (Chord α) 與我們今天的正弦之間的關係是 α Chord α = 2 sin (1) 2 法國數學史家坦納裏 (P. Tannery, 1843 ∼ 1904) 認為, 早在天文學家希帕霍斯 (Hip- pachus, 前 2世紀) 之前, 阿基米德 (Archimedes, 前 287 ∼ 前 212) 和阿波羅尼斯 (Apollo- nius, 前 260 ∼ 前 190) 可能已經編制過弦表, 阿基米德的折弦定理1 似乎就是一個證據。 希臘 三角學創始人希帕霍斯、 梅內勞斯 (Menelaus, 1世紀) 都製作過弦表, 可惜沒有流傳下來。 西元2世紀, 古希臘天文學家托勒密 (C. Ptolemy, 85? ∼ 165?) 為造出從 1/2度到 180 度每隔 1/2度所有弧的弦表 (造表方法可參閱 Smith,1925; Brendan,1965), 提出了後人以其 名字命名的定理 : 圓內接四邊形兩對