微积分x14-5积分与路径无关条件.ppt

场论 曲线积分与路径无关的定义 全微分方程 例1. 求解 例2. 求解 积分因子法 常用微分倒推公式: 三、空间中曲线积分与路径无关的条件 例. 验证曲线积分 例 思考: 如何解方程 这不是一个全微分方程 , 就化成例2 的方程 . 使 为全微分方程, 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 为原方程的积分因子. 但若在方程两边同乘 若存在连续可微函数 积分因子. 积分因子不一定唯一 . 例如, 对 可取 与路径无关的五个等价命题 条件 函数 在单连通区域 内具有一阶连 续偏导数 等价命题 （1）曲线积分 在 内与路径无关 （2）沿 内任意闭曲线的曲线积分 （4）在 内存在函数U使 （5） 内成立 为 内任取点。 空间保守场势函数计算方法 一.变上限求积分法. O y0 y y z z z0 x0 x x 二. 偏积分法. 即 从而可求出 求曲线积分 为 内任取点。 O y0 y1 y z z1 z0 x0 x1 x 与路径无关, 并求函数 解: 令 ? 积分与路径无关, 因此 （1）证明它是保守场 （2）求出它的位势函数U（x,y,z) (3)计算： 为保守场。 定义 设 为空间区域 上的向量场。对 上每一点 定义向量函数 称它 为向量场 中点M处的旋度，记作 四：旋度 定义 设 为空间 内的向量场，L为场内任意封闭 曲线，称 为 沿场内有向闭曲线L指 定方向的环流量，简称环量。 注: 表示流速为 的流体在单位时间沿有向 闭曲线L的流量。反映了流体沿L流动的旋转的强弱程度。 注: 由上述定义，Stokes公式可以写成如下的向量形式 上式说明：向量场 沿有向闭曲线L的环流量等于向量场 的旋度场通过L所张的曲面S的通量。 注 对于空间区域 内的向量场 当 时，沿 场内任意有向闭曲线的环流量为零。即流体流动时不成旋 涡，此时称此向量场为无旋场。 * §14-5 一、曲线积分与路径无关的条件 R3的原点O处有一质量为m的质点对到P的单位质量质点的引力为 质点在引力作用下从点A移动到点B时，引力所做的功 例3 解 物理学中把物理量在某个区域内的分布称为场， 如： 温度场、速度场、电磁场等。 如果量的变化与时间无关，则称此场为稳定场。 若对平面区域或空间区域 内每一个点M， 都有一个数量（向量）与之对应，则称在 该区域上给定了 一个数量场 （ 向量场） 引力做功W只与质点的起点和终点有关，而与路径无关，在物理学中称这样的场为保守场（位势场）。 如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内 从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有 G y x o B A G y x o B A 沿场内光滑或逐段光滑的任意简单闭合曲线L 二、位势函数 定理14-1 向量场 为保守场，u (x, y)称为保守场的（位）势函数，根据这一定理，保守场也称位势场。 下证 y 证明 同理可证 反之若 存在 则对D内光猾或逐段光滑的任意简单闭合曲线 保守场 ， 势函数u (x, y)称为保守场的原函数 定理14-2 充分性：因 必要性： 设存在某一函数 ，使 则必有 从而 由于 在G内有连续的偏导数，故有 证毕 与 路 径 无 关 的 五 个 等 价 命 题 条件 等 价 命 题 （1）在D内曲线积分 与路径无关 （2）沿D内任意闭曲线的曲线积分 在D内成立 L 与路径无关 解 因此，积分与路径无关。 则 在单连通域全平面上有连续的一阶偏导数，且 解 F 位势函数的求法 一.变上限求积分法. L 二. 偏积分法 即 从而可求出C(y) 并且 例. 验证 在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函 数 , 并求出它. 证: 解 因此向量场是保守场。 f1,f2在单连通域全平面上有连续的一阶偏导数，且 是不是保守场,求U(x,y) 解 解 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, ① 为全微分方程 则 求解步骤: 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件. 1. 求原函数 u (x, y) 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C . 则称 为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) . ① 解: 因为 故这是全微分方程. 则有 因此方程的通解为 解: ∴ 这是一个全微分方程 . 用凑微分法求通解. 将方程改写为 即 故原方程