信号与系统第八章Z变换.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 表8-2 Z变换性质与定理 作业（2） 8-7(选做，目的是加深性质的理解) 8-8 8-16 8-17（1）（2） 8-18 8-19（1） 8.5 离散系统的复频域分析 8.5.1 利用Z变换求解差分方程 N阶LTI离散系统的差分方程一般形式为 （8.5-1） 当x(n)是因果序列，已知初始（边界）条件y(-1), y(-2), …, y(-N)时，可利用Z变换求解式（8.5-1），对式（8.5-1）等式两边取单边Z变换，利用单边Z变换的位移性，得到 （8.5-2） 式中, y(l)是初始条件。 1. 零状态响应 零状态响应是仅由激励引起的响应。当激励x(n)是因果序列时，并且系统初始条件为零（y(l)=0, -N≤l≤-1），则式（8.5-2）为 （8.5-3） 由式（8.5-3）得零状态响应为 （8.5-4） 令 （8.5-5） 式中, H(z)为系统（传输）函数，零状态响应还可表示为 （8.5-6） （8.5-7） 稳定因果系统的条件为:系统函数的所有极点都在单位圆内 用系统函数判断离散LTI系统的稳定性与因果性 稳定的充要条件是: 系统函数的收敛域包含单位圆。 因果性的条件：系统函数的收敛域是 例8.5-1 已知一离散系统的差分方程为y(n)-by(n-1)=x(n), 求y(n)。其中x(n)=anu(n), y(-1)=0。并讨论系统的稳定性。  解 因为y(-1)=0， 是零状态响应。对方程两边取单边Z变换 2. 零输入响应  零输入响应是仅由系统初始储能引起的响应，与初始（边界）条件y(-1)、y(-2)、…、y(-N)密切相关。此时激励x(n)=0，式（8.5-1）差分方程右边等于零， 式（8.5-2）变为 （8.5-8） （8.5-9） 其中, y(l)为系统的初始（边界）条件， -N≤l≤-1 （8.5-10） 例8.5-2 已知差分方程为y(n)-by(n-1)=x(n), 求y(n)。 其中x(n)=0，y(-1)=-1/b，求y(n)。  解 激励x(n)=0，是零输入响应。对方程两边取单边Z变换 3. 全响应 利用Z变换，不需要分别求零状态响应与零输入响应，可以直接求解差分方程的全响应。 （8.5-11） 零状态响应，与输入有关的项 零输入响应，与初始储能有关的项 例8.5-3已知差分方程为y(n)-by(n-1)=x(n), 已知y(0)=0， x(n)=anu(n),求y(n)。 解 先求出边界条件y(-1), 将n=0代入原方程迭代  y(0)-by(n-1)=x(0)=1 解出y(-1)=-1/b，此时的y(n)是全响应。 方程两边取Z变换 Y(z)-b［z-1Y(z)+y(-1)］=X(z) 例8.5-4 已知某离散系统模拟如图8.5-1所示，求系统函数H(z)及冲激响应h(n)。  图 8.5-1 例8.5-3离散系统 解 6.5.2 Z变换与拉普拉斯（傅里叶）变换的关系 要讨论Z变换与拉氏变换的关系，首先要研究z平面与s平面的映射（变换）关系。在5.1节中我们将连续信号的拉氏变换与采样序列的Z变换联系起来，引进了复变量z，它与复变量s有以下的映射关系 (6.5-12) 或 式中, T是采样间隔，对应的采样频率ωs=2π/T。 为了更清楚地说明式(6.5-12)的映射关系，将s=σ+jω代入式(6.5-12)， z=esT=e(σ+jω)T=eσTejωT=rejθ 由此得到 式中, θ是数字域频率，由式(6.5-13)具体讨论s与z平面的映射关系。 (1) s平面的虚轴（σ=0）映射到z平面的单位圆ejθ，s平面左半平面（σ0）映射到z平面单位圆内(r=eσT1)；s平面右半平面(σ0)映射到z平面单位圆外(r=eσT1)。  (2) ω=0时，θ=0，s平面的实轴映射到z平面上的正实轴。 s平面的原点s=0映射到z平面单位圆z=1的点。 (3) 由于z=rejθ是θ的周期函数，当ω由