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第 2 讲 Maxwell方程Yee算法 本讲介绍K.S. Yee提出的FDTD算法，它是电磁场FDTD分析的基础。 Yee的独特之处是在空间为每一个电场和磁场分量的空间取样选择一种特殊的网格—称之为Yee网格，在时间上，采用了蛙跳算法，使得利用一阶导数的二阶中心差分近似从Maxwell方程获得的FDTD公式，既满足Maxwell方程的微分形式又满足其积分形式。 因此，Yee的FDTD算法非常稳固，具有很广的应用领域。 2.1 一维Maxwell方程的Yee算法（1） 一维Maxwell方程 利用一阶导数的二阶中心差分近似，上面的方程变为 2.1 一维Maxwell方程的Yee算法（2） 采用归一化磁场 使得电场与归一化磁场有相同的数量级，于是可以得到FDTD迭代公式为 式中， 为自由空间中的光速。 2.1 一维Maxwell方程的Yee算法（3） 用计算机语言表示的FDTD公式 式中，时间变量已隐含在迭代公式中，以及 只要给定了所有空间点上电/磁场的初值，就可以一步一步地求出任意时刻所有空间点上的电/磁场值。 2.1 一维Maxwell方程的Yee算法（3） 电场与磁场分量的空间-时间分布图 2.1 一维Maxwell方程的Yee算法（4） Main loop in 1D FDTD C-program: for (k=0;k=kmax;k++) { Hy[k]=0; Ex[k]=0;} for (n=1;n=nmax;n++) { Ex(0)=Source(n); for (k=0;kkmax;k++) { Hy[k]=Hy[k]-ca[k]*(Ex[k+1]-Ex[k]); } for (k=1;kkmax;k++) { Ex[k]=Ex[k]-cb[k]*(Hy[k]-Hy[k-1]); } Ex(kmax)=Boundary; } 2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（1） 考虑非时变、线性、各向同性媒质填充的无源区域， Maxwell旋度方程为 2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（2） 以及 2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（3） Yee 首先将空间按立方体分割，电磁场的六个分量在空间的取样点分别放在立方体的边沿和表面中心点上，电场与磁场分量在任何方向始终相差半个网格步长。 2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（4） 在时间上，Yee 把电场分量与磁场分量也差半个步长取样。 2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（5） 于是，利用一阶导数的二阶中心差分近似就可以导出旋度方程的FDTD公式。如： 2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（6） 将上述公式代入相应的方程，得 2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（7） 采用时间平均近似 最后，忽略高次项，得 2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（8） 同理，可以得到其他2个磁场分量的FDTD方程 2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（9） 上面公式之间有明显的规律，便于记忆，如： 系数Da和Db在空间的位置就是方程左边项的场分量的空间位置； 右边第一项的场分量与左边的相同，但为n时间步，而左边场分量的时间步为n+1； 右边第二、第三项的场分量与左边的相反（电场与磁场）三者的坐标分量满足循环关系：x-y-z-x; 右边第二、第三项为空间差分形式。右边第二项分子上场量的坐标分量与分母上空间步长的坐标分量也满足x-y-z-x的循环关系。而右边第三项分子上场量的坐标分量和空间步长坐标分量与第二项恰好对调。 第三项符号为负。 2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（10） 利用对偶原理： ，并注意到E与H在时间上差半个步长，可以直接从磁场FDTD公式得到电场的FDTD公式。如： 2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（11） 给出n=0时刻电磁场的初值和媒质参数； 由磁场FDTD公式，根据n时间步的电场值和磁场值求得n+1时间步空间所有点的磁场分量； 由电场FDTD公式，根据n时间步的电场值和n+1时间步的磁场值求得n+1时间步空间所有点的电场分量； 如此迭代，可获得任何时刻空间所有点的电磁场值。每一过程常称为蛙跳法(leapfrog)。