三重积分概念.pptVIP

3. 计算 解: * 7.2节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分 注意：在学会二重积分的基础上，把积分区域和被积函数的维数都上升一维，就可以较好地去理解三重积分。 一、三重积分的概念和性质 类似二重积分解决问题的思想, 采用 ? 引例: 设在空间有限闭区域 ? 内分布着某种不均匀的 物质, 求分布在 ? 内的物质的 可得 “分割区域, 作近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义 设 存在, 称为体积元素, 若对 ? 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在?上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 三重积分的性质与二重积分相似. 性质: 例如 下列“乘 中值定理，等 线性, 区域可加性，保序性， 积和式” 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 ? 上为有界函数， 且 二、三重积分的计算 （直角坐标系下） 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 基本思想：化为三次累次积分来算。 方法1. 投影法 (“先一后二” ) 该物体的质量为 相当于细长柱体微元的质量为 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法2. 截面法 (“先二后一”) 为底, d z 为高的柱形薄片质量为 该物体的质量为 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 还可以有其它顺序，要看积分区域的正则性。 注：当被积函数在积分域上变号时, 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.从而将直角坐标系下的三重积分计算推广到一般情形。 若用截面法，则需先算二重积分。 小结: 三重积分的计算方法 方法1. “先一后二”（投影法） 方法2. “先二后一”（截面法） 具体计算时应根据 再化为三次积分来算。 被积函数及积分区域的特点灵活选择. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中? 为三个坐标 例1. 计算三重积分 所围成的闭区域 . 解: 面及平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算三重积分 解: 用“先二后一 ” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 习题7.2 4（2）; 5（1）（3）；6。 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 1. 将 用三次积分表示, 其中?由 所 提示: 练习 六个平面 围成 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设 计算 提示: 利用对称性 原式 = 奇函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所围成. 其中 ? 由 分析：若用“截面法”, 则有 第一部分不太好算， 故采用“投影法”，投到ozx面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所围, 故可 表为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * * * *