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2.4.4 曲线的弯曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 平面曲线的曲率 第三章 一、 弧微分 设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则弧长微分公式为 或 几何意义: 若曲线由参数方程表示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 对应切线 定义 弧段 上的平均曲率 点 M 处的曲率 注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为 例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 , 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有曲率近似计算公式 故曲率计算公式为 又 曲率K 的计算公式 二阶可导, 设曲线弧 则由 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: (1) 若曲线由参数方程 给出, 则 (2) 若曲线方程为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 我国铁路常用立方抛物线 作缓和曲线, 处的曲率. 点击图片任意处播放\暂停 说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 求此缓和曲线在其两个端点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且 l R. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 离心力必须 连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化 . 例2. 我国铁路常用立方抛物线 作缓和曲线, 且 l R. 处的曲率. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 显然 例3. 求椭圆 在何处曲率最大? 解: 故曲率为 K 最大 最小 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求驻点: 设 从而 K 取最大值 . 这说明椭圆在点 处曲率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算驻点处的函数值: 最大. 三、 曲率圆与曲率半径 设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 在曲线 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 . M 处作曲线的切线和法线, 的凹向一侧法线上取点 D 使 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设曲线方程为 且 求曲线上点M 处的 曲率半径及曲率中心 设点M 处的曲率圆方程为 故曲率半径公式为 满足方程组 的坐标公式 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此可得曲率中心公式 (注意 与 异号 ) 当点 M (x , y) 沿曲线 移动时, 的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 , 相应的曲率中心 曲率中心公式可看成渐 曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 屈线的参数方程(参数为x). 点击图中任意点动画开始或暂停 例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适? 解: 设椭圆方程为 由例3可知, 椭圆在 处曲率最大 , 即曲率半径最小, 且为 显然, 砂轮半径不超过 时, 才不会产生过量磨损 , 或有的地方磨不到的问题. 例3 目录 上页 下页 返回 结束 ( 仍为摆线 ) 例5. 求摆线 的渐屈线方程 . 解: 代入曲率中心公式 , 得 摆线 目录 上页 下页 返回 结束 摆线 半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时 , 点击图中任意点动画开始或暂停 其上定点 M 的轨迹即为摆线 . 参数的几何意义 摆线的渐屈线 点击图中任意点动画开始或暂停 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 弧长微分 或 2. 曲率公式 3. 曲率圆 曲率半径 曲率中心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系? 答: 有公切线 ; 凹向一致 ; 曲率相同. 2. 求双曲线 的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小? 解: 则