正向思维与逆向思维-福建厦门第一中学.DOC

数学思维能力培养系列谈③ 正向思维与逆向思维 厦门第一中学 郑辉龙 姚丽萍 一、正向思维与逆向思维 正向思维是指按常规习惯去分析问题，按常规进程进行思考、推测，是一种从已知进到未知的逻辑顺序来揭示问题本质的思维方法。正向思维与向思维只是相对而言的，向思维是指背逆人们的习惯路线思维。向思维人们的习惯运用思维，常常会取得意想不到的功效这说明反向思维是摆脱常规思维羁绊的一种具有创造性的思维方式 二、逆向思维培养示例 1.新授课中的培养方式。 （1）逆用定义。在概念教学中应让学生明白：所有定义都是“充分且必要”的，也就是说定义都具备“可逆性”，可以正反两用。 案例1：解方程的结果是( ） A. x=-1 B. x=0 C. x=1 D. x=2 点评：人教版数学课本七年级（上）P81“解方程”的定义是：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。笔者曾经统计过，超过一半的学生是按照解方程的定义“求出”结果，仅有少数“偷懒”的学生逆用定义带入验证---观察口算即可获解。 （2）逆用公式。在公式教学中应让学生明白：所有公式都是恒等式，都可以逆用。 案例2：简便计算（1） （2）。 点评：两道类型题摆在一起，明显结果是：学生做题（1）很顺，做题（2）困难，原因在于对平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)的逆用感觉“不习惯”。 （3）逆用法则。法则就是规律，中学数学法则大多数是可以用等式表达的运算规律，同样关注其逆用。例如幂的运算法则用数学符号语言可表示为四个恒等式: am·an= am+n, am÷an=am-n, (am) n=amn, (ab) m=am·bm。 案例3：（1）计算：（0.25）100·（-2）200；（2）已知2m=a，32n=b，求23m+10n； （3）已知，，求。 点评：这里的三道小题，需要学生熟练地逆用上述四个法则。在试题命制中，经验告诉我们，凡仅仅顺用这些法则就够的题肯定是普遍都会的“送分题”，反之，只要涉及逆用这些法则的题都会成为有一定区分度的“中档题”。事实上，只要适度的训练，提升逆向思维能力，所谓中档题也是可以转化为送分题的。 （4）注重逆命题教学。在逆定理教学中，首先让学生明白：不是每个定理都有逆定理的。最经典的是“对顶角相等”就没有逆定理。在此基础上，采用“矫枉过正”策略---偏重逆定理的应用。在定理（包括其他命题）的教学中，可经常设置逆命题类的问题，有助于提升学生逆向思维的意识。 案例4：我们已经学习了三角形中位线定理，如果将定理中的部分条件和结论对调后成为逆命题，是否还成立呢？请分别判断以下两题的结论是否正确，如果正确，证明之；如果不正确，举一个反例说明。 逆命题（1）：如图1，△ABC中，如果点D是AB中点，DE交AC于E，DE∥BC，那么点E是AC中点，且DE=BC。 逆命题（2）：△ABC中，如果点D是AB中点，DE交AC于E，DE=BC，那么点E是AC中点，且DE∥BC。 点评：这是开放题，没有明确结论，需要学生自己判断；这是初中几何核心定理的逆命题；这是类型相同而结论不同的“题组题”，题（1）为真，可以证明，题（2）为假，可以举反例。同时，举反例训练也是培养逆向思维的重要手段。 2.习题讲评课中的培养方式。 习题讲评，应该给学生展示思维的过程。在此，重点向学生讲清楚分析与综合的两种思维过程。所谓综合，是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，即由因导果，是正向思维；所谓分析，是从“未知”看“须知”，逐步靠近“已知”，即执果索因，是逆向思维。 案例5：如图2，△ABC中，∠B=2∠A，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，求证：b2=a2+ac。 点评：已知中只有角的关系，没有任何边的关系，如何由“角”推向“边”？感觉很困难，正向的综合思维路难行。不妨用逆向的分析思维： 要证：b2=a2+ac， 只需：b2=a（a+c）， 只需：b∶a=（a+c）∶b， 易知，线段比问题找相似，联想含b为公共边的“基本图形”（详见系列谈②），故延长CB至D，使BD=BA，连DA，因此， 只需：△ABC∽△DAC，因∠C已是公共角，所以， 只需：∠CAB=∠D,贴近已知的“角”了。由于BD=BA，故∠DAB=∠D,所以， 只需：∠CAB=∠CBA，其实，这就是已知条件---思路接通了。 如果不细细展示分析思维，最关键的辅助项的添法学生会觉得莫名其妙。不过书写建议还是以综合法表达妥当。 对于解题思维中分析与综合的程序，牛顿说得好：“在自然科学里，应该像在数学里一样，在研究困难的事物时，都是应当先用分析的方法，然