椭圆型偏微分方程实验报告课件.docVIP

实验报告 实验项目名称 椭圆型偏微分方程 实　验　室 数学实验室 　 所属课程名称 微分方程数值方法 实 验 类 型 算法设计 实 验 日 期 2014年6月6日 班 级 学 号 姓 名 成 绩 实验概述： 【实验目的及要求】 实验目的是通过分析Possion问题并用交替迭代法来求解其次边值问题，进一步了解交替迭代法的算法特点——即在矩形区域上的差分格式可以大大降低计算量。实验要求是利用Peaceman-Rachford迭代格式编写出相应的代码解决Possion问题。 【实验原理】 对于简单的椭圆型偏微分方程 Poission 方程: 采用正方形网格剖分正方形区域 Ω ,对 x 和 y 方向采用中心差分并记 则对Poission方程离散后差分格式可写成; 改写为 由此得Peaceman-Rachford 迭代格式为 其分量形式为 将以上两步写成矩阵形式，第一步迭代为： 第二步迭代为： 这里的 gij 和 gij 分别为 迭代参数可取为： 实际上每个迭代步相当于解N ? 1个系数矩阵为三对角阵的N ? 1阶线性代数方程组，可用追赶法求解。 【实验环境】（使用的软硬件） 软件： MATLAB 2012a 硬件： 电脑型号：联想 Lenovo 昭阳E46A笔记本电脑 操作系统：Windows 8 专业版 处理器：Intel（R）Core（TM）i3 CPU M 350 @2.27GHz 2.27GHz 实验内容： 【实验方案设计】 利用Peaceman-Rachford迭代格式求解 求解域Ω : 0 ≤ x, y ≤ 1,其精确解为u = sin πx sin πy。 首先利用上述原理进行分析，从而利用Matlab软件编写出相应程序。 【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 我们首先编写一个m文件，包含交替方向迭代法程序如下: function u=alter(a0,b0,f,h)%输入-a0为x,y方向起始端点;%-b0为x,y方向终点;%-f为方程右端函数;%-h为网格步长;%输出-u为解矩阵。p=200;N=fix((b0-a0)/h);u=zeros(N+1);v=zeros(N+1);g=zeros(N+1);x=a0:h:b0;y=x;tau=h*h/(2*sin(pi*h));a=-tau*ones(1,N-2);c=a;d=(h*h+2*tau)*ones(1,N-1);for k=1:perr=0;for i=2:Nfor j=2:Ng(i,j)=(h*h-2*tau)*u(i,j)+tau*(u(i,j+1)+u(i,j-1)+h*h*f(x(i),y(j)));endv(2:N,i)=trisys(a,d,c,g(2:N,i));endfor i=2:Nfor j=2:Ng(i,j)=(h*h-2*tau)*v(i,j)+tau*(v(i+1,j)+v(i-1,j)+h*h*f(x(i),y(j)));t=abs(u(i,j)-v(i,j));if (errt)err=t;endendu(i,2:N)=trisys(a,d,c,g(i,2:N));endif (err1e-4)errkbreak;endk=k+1;end 取步长h = 0.2,迭代残差为10-4。 然后在Command Window里编写如下程序： f=inline(2*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y),x,y);a0=0;b0=1;h=0.2;u=alter(a0,b0,f,h);x1=a0:h:b0;y1=a0:h:b0;surf(x1,y1,u) 运行结果如下所示： err =6.4665e-05k =9将步长缩小为h = 0.1,迭代残差为10-4。 然后在Command Window里编写如下程序： f=inline(2*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y),x,y);a0=0;b0=1;h=0.1;u=alter(a0,b0,f,h);x1=a0:h:b0;y1=a0:h:b0;surf(x1,y1,u) 运行结果如下所示： err =7.3408e-05 k =19 【结论】（结果） 本次实验通过