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圆锥曲线中两垂直切线交点的轨迹.doc
圆锥曲线中两垂直切线交点的轨迹
笔者通过对圆锥曲线的两条垂直切线交点的轨迹问题研究发现了下面几个结论：
结论1：椭圆两条互相垂直切线的交点的轨迹是.
证明：设为椭圆 ①
两条互相垂直的切线的交点，为过M点所作这椭圆的切线的斜率，则这切线的方程为
②
由①②可得
即
③
由题意可得：
，
化简，得 .
当时,设此方程的二根为,则,即,故得
,
当时,此时切线轴,切线轴,即,故,即点M的轨迹是以原点为圆心,为半
径的圆.
根据双曲线与椭圆的相似性,可以类比得到:
结论2:双曲线两条互相垂直切线的交点的轨迹是.
当时,轨迹是以原点为圆心,为半径的圆;
当时,轨迹是(0,0);
当时,轨迹不存在.
结论3：抛物线两条互相垂直切线的交点的轨迹是.
的方程为,
切线的方程为.
∵为这两切线的交点,
∴ ①
②
①÷②,得:
=.
①－②,得:
,又,即
,故,则,故抛物线的两垂直切线的交点在准线上,故抛物线两条互相垂直切线的交点的轨迹是.
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