反问题概述课件.ppt

* 类似的探测方法可以应用于许多方面，如：农用土壤分析、地下水勘查，甚至于在考古发现上也有应用。位于三峡库区的四川省云阳县故陵镇有一个大土包，相传为楚国古墓，但是历经三千余年的变迁，已经难以确认了。科技工作者在地表利用地震波法、高精度磁法、电场岩性探测和地化方法四种手段进行探测，不但确认了古墓的存在，而且得到了关于古墓的埋藏深度、形状、大小甚至墓道的准确信息，为抢救和保护文物做出了贡献。 * 扫描成像 本世纪初，Hebglotz和Wiechebt应用Abel型反演方法解决了 在一定对称条件下通过地震波的走时曲线来反推地层内部形 貌的方法。据此Mohobovic（1909年）发现了地壳与地幔之 间的断层。现在，利用地震波的接收信号通过成像来考察地 层地貌形态已经成为地球物理勘探最为重要的手段。例如， 通过走时成像，可以得到地震波在不同深度的传播速度；而 在已知速度的前提下，利用声波方程或其单程波方程偏移成 像方法，又可以得到反射界面的位置和形状。 * 成像的另一个重要应用是医学上的计算机层析成像（CT），这是X光射线自Roentgen发明（获1900年诺贝尔奖）以来在医疗诊断上的重大进展，其发明人Hounsfield和Cormack因此获得了1979年的诺贝尔医学奖。CT技术是医学、电子技术、计算机技术和反演数学相结合的产物，它利用计算机来对穿越人体的X射线信号进行处理，来重建体内的结构信息，生成透视图像供医疗诊断参考，其核心算法的数学基础是二维Radon变换。继之而起的是基于三维Radon变换的核磁共振成像，在诊断效果和无伤害性方面更为优越。事实上，类似的方法也可以借助于声波、光波、电磁波在无损探伤、雷达侦察、射电望远镜探测、环境监测等多方面有广泛应用。 * 逆时反演 在科学研究中，我们经常遇到这样的问题：知道了某个事物 的现在状态，希望了解它的过去，即通常所说的“恢复历史 的本来面目。”这往往可以提为逆时反问题。当然，反问题 研究不是历史学，它所研究的对象一般要满足某种类型的演 化方程或数学模式。例如，通过远程测得的某次爆炸产生的 辐射波，如何确定爆炸的位置和初始能量？这是波动方程的 逆时反问题；又如，根据近来的温度变化能否确定过去某个 时间的温度状态？这就成为热传导方程的逆时反问题。 * 孤立子的发现 一个著名的例子是反散射方法在孤立子发现中的作用：反散 射问题是量子物理学研究中的一个问题，通过谱和谱函数在 无穷远处的散射性态反推一维Schordinger（薛定鄂）方程的 位势函数。它由前苏联数学家Gelfand和Levitan（1955年） 一举解决。在此基础上引发了一系列突破性进展，最为著名 的是利用这个结果Lax（1968年）得到了关于KDV方程的巧 妙解法，从而发现了非线性方程中的孤立子现象。这是近代 非线性科学研究的重要事件。 * 其它问题 飞行器外形设计 公路、桥梁、水坝等工程质量检测问题 沙漠找水 钢炉检测 * 前面介绍了反问题的几种类型，它们在研究和应用上经常是相互联系的，分门别类只是为了叙述方便。另外，反问题与其它数学学科之间并没有一个严格的界限，而是互为补充，互相促进。反问题的研究起源于数理方程，其反演算法中包含了微分方程数值解法、最优化方法和概率统计等方面的许多思想和技巧。另一方面，反问题的研究也促进了人们对世界的认识，使得研究更全面、深化。 * 5.反问题研究的难点及对策 与正问题相比，反问题的研究起步较晚，发展还远不成熟。 从本质上来说，反问题的研究的难度一般比相应的正问题要 大。这是因为反问题的求解往往违背了物理过程的自然顺 序，从而使正问题中的许多良好性质不再满足。这种现象在 许多学科的研究中都是普遍存在的。比如说：曹雪芹创作了 古典名著《红楼梦》，这是人所共知的，但是要从现存的史 料和文物“碎片”来恢复这位伟大作家的人生经历和创作历 程则是一件万分艰辛的事情，更何况这些“碎片”信息真伪 交杂，且时有含混。反问题的研究也经常遇到类似的困难， 这些困难体现在： * 1.存在性：我们要求的反问题的解很可能不存在！无解的原因多种多样，可能是在定向设计中问题的提法不合理，也可能是探测时接收到的响应中含有假信息（噪音），将求解引入歧途。 2.唯一性：有的反问题的解虽然存在，却不唯一，有几个甚至无穷多个。这是因为收集到的信息不够，不足以确定解的性态。对大多数反问题（比如探测问题）来说，真正的解只有一个，这就要从许多解当中进行挑选，去伪存真，颇费周折。 * 3.稳定性：利用计算手段，由接收信息来反演物质的结构和特性是反问题研究的重要内容。可是实际的接收响应中不可避免地含有噪音，计算过程也有累积误差。这种微小的误差会不会导致反演结果面目全非？研究表明，相当