第八章 向量与复数.pptx

第八章　向量与复数; 向量最初被应用于物理学,很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算,把坐标平面上的点;用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。人们逐步接受了复数,也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量,向量就这样平静地进入了数学。;第一节　向量的概念;向量可用小写黑体字母表示,例如a、b、c。;为了方便起见,向量通常用一条规定了起点与终点的有向线段来表示。以A为起点、B为终点的有向线段表示的向量记;二、 特殊向量和向量间的关系;(3)负向量　与向量a长度相等但方向相反的向量称为a的负向量,记为-a,特别地,有-?=?。;? ;(5)向量的相等　长度相等且方向相同的向量称为相等的向量。向量a与向量b相等,记作a=b。;? ;例????如图8-3所示,在平行四边形ABCD中找出与向量?相 等的向量及负向量,找出与向量?共线的向量。;解????与向量?相等的向量有?(?=?);;第二节　向量的运算;例1????一辆汽车从A地向正东方向行驶100km到达B地,然后再从B地沿北偏东45°方向行驶30km到达C地,如图8-5所示。问汽车两次行驶的总效果如何?;解????总效果是汽车从A地出发到达C处。;加法法则1????已知向量a,b,在平面内任取一点A,作?=a,? =b,则向量?叫做a与b的和,记作a+b,即;图　8-6;加法法则2????已知向量a、b,在平面内任取一点A,作?=a, ?=b,以?、?为邻边作平行四边形ABCD,如图8-7所示;图　8-7;如果向量a=?与向量b=?在同一直线上,那么,规定它们 的和是这样一个向量:;若?与?的指向相反时,和向量的模等于两向量的模之 差,其方向与模值大的向量方向一致。;向量加法的运算规律:;例2????已知向量a、b(图8-8a),求作向量a+b。;作法:在平面内任取一点O(图8-8b),作?=a,?=b,则?=a +b。;向量a加上b的负向量,叫做a与b的差,记作a-b, 即a-b=a+(-b)。求两个向量差的运算,叫做向量的减法。;如图8-9所示,已知a、b,在平面内任取一点O,作?=a,?=b, 则?=a-b。即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终 点的向量。;例4????如图8-10a,已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d。;作法:如图8-10b所示,在平面内任取一点O,作?=a,?=b, ?=c,?=d,作?、?,则?=a-b,?=c-d。;例5????如图8-11所示,在平行四边形ABCD中,?=a,?=b,用 a、b表示向量?、?。;定义　向量a与实数λ的乘积记作λa,规定λa是一个向量,它的长度|λa|=|λ||a|,它的方向当λ0时与a相同,当λ0时与a相反。; 实数与向量相乘的运算称为向量的数乘运算,λ称为向量a的系数。数乘的几何意义是把向量a沿a的方向或反方向伸长或缩短。;由数乘向量的定义知,向量a与向量λa共线。;例6????计算下列各式。;? ;解????如图,由三角形法则知?=?+?。;四、 向量的数量积;图　8-13;其中θ是F与S的夹角。;显然,a,b=b,a;定义????已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cosa,b叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即;从定义可以看出,两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。; 根据向量数量积的定义,容易得到如下重要性质。;(1) e·a=a·e=|a|cosθ;;已知向量a、b、c和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:;例9????已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a-3b)。;第三节　复数的概念;(1) 它的平方等于-1,即i2=-1i;;在这种规定下,i就是-1的一个平方根,方程x2=-1的另一个根是-i。;i4=i2·i2=1　　i5=i4·i=i　　i6=i4·i2=-1　　i7=i4·i3=-i;例1　计算:; 在引入了虚数单位i及其有关运算规定以后,我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数。其中a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部。全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示。 ;三、 复数的有关概念;2. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系;例2　复数-2i+3.14的实部和虚部是什么?;3.复数集的结构;?? ;例3????m(m∈R)取什么值时,复数(6m2-m-1)+(m2-5m-6)i是(1)实数?(2)纯虚数?(3)零?;(2) 当b≠0,即m2-5