第三章 柯西定理.ppt

第一节 柯西定理 1.1复变函数的积分 1.2 几个引理 1.3 柯西定理 1.2 三个引理 引理2.1 引理2.2 引理2.3 第二节 柯西公式 柯西公式 高阶导数公式 柯西不等式 莫勒拉定理 定理2 (类似于牛顿-莱布尼兹公式) 例 解 由牛顿-莱布尼兹公式知, 根据复合闭路定理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值。 一、柯西公式 1.问题的提出 定理4.1 2.柯西公式 柯西公式 关于柯西积分公式的两点说明: (1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示. (这是解析函数的又一特征) (2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式. (这是研究解析函数的有力工具) 证明： 上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就可以任意小, 根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关, 所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能. [证毕] 柯西积分公式 解 由柯西积分公式得 解 由柯西积分公式得 先使用复合闭路定理，再使用柯西公式即可！ 例3 解 由柯西积分公式得 例4 解 例4 解 由复合闭路定理, 得 例4 解 解 根据柯西公式知, 例6 解 一方面，根据柯西积分公式知, 另一方面，用参数方程法来计算该积分： 比较两式得 课堂练习 答案 定理4.2 高阶导数公式 高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分. 问：在高阶导数公式中，当n=0时是什么公式？ 二、高阶导数公式 (2)高阶导数公式是复积分的重要公式. 它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本质区别. (1) 系4.1 解析函数必有各高阶导数. (3) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示, 这与实变函数完全不同. 注： * 1.有向曲线: 设C 为平面上给定的一条光滑(或分段光滑)曲线, 如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C 理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线。 如果A到B作为曲线C的正向, 那么B到A就是曲线C的负向, 1.1 复变函数的积分 一、积分的定义 简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时, 邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向. 关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向. 2.积分的定义: ( 注: 1. 存在的条件 二、积分存在的条件及计算方法 连续一定可积，反之不一定成立。 在形式上可以看成是 公式 2. 积分的计算方法 线积分法： 参数方程法： 推导过程： 复积分与实变函数的定积分有类似的性质. 三、积分的性质 例1 解 例2 解 (1) 积分路径的参数方程为 y=x (2) 积分路径的参数方程为 y=x y=x (3) 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 1到1+i直线段的参数方程为 您发现了什么？ 例3 解 积分路径的参数方程为 例4 解 积分路径的参数方程为 重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关. 例5 解 解 思考题 即为一元实函数的定积分. 答案 一.柯西定理 1.3 柯西定理 关于定理的说明: (1) 如果曲线 C 是区域 D 的边界, (2) 如果曲线 C 是区域 D 的边界, 常用这个结论！ 例1 解 由柯西定理, 有 例3 解 根据柯西定理得 二. 复合闭路定理 那末 例1 解 由复合闭路定理,得 例2 解 圆环域的边界构成一条复合闭路, 根据闭路复合定理, 解 由复合闭路定理, 此结论非常重要, 用起来很方便, 因为Γ不必是圆, a也不必是圆的圆心, 只要a在简单闭曲线Γ内即可. 三.定积分