中学代数研究 第4章 函数课件.ppt

第4章 ;函数的发展 函数概念的三种定义 初等函数 函数的图像与函数的特征 函数概念的教学;一 函数的发展;法国数学家笛卡儿最先提出了“变量”的概念，他在《几何学》中不仅引入了坐标，而且实际上也引入了变量，他在指出x、y是变量的同时，还注意到依赖于而变化，这正是函数思想的萌芽。 莱布尼茨在1673年的手稿中则用“Function”一词。 李善兰在《代微积拾级》一书中将Function一词翻译为“函数”，并一直沿用至今。 ;1755年，欧拉提出了一个明确的函数定义： “如果某些变量以如下方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一个变量是后一个变量的函数”。 ;1851年，黎曼定义： “我们假定Z是一个变量。如果对它的每一个值，都有未知量W的一个值与之对应，则称W是Z的函数”。 ;1939年，布尔巴基学派的著作认为， 若E、F是两个集合，二者的笛卡儿积 是指XY中的任何子集S称为x、y之间的一种关系。如果关系F满足：对于每一个 ，都存在唯一的一个y，使得 ，则称关系F是一个函数。;在20世纪以前，中学数学的中心是方程。 1908年，数学家F·克莱因担任国际数学教育委员会主席。他首次提出，中学数学应当以函数为中心；或者说“以函数为纲”。实际上直到第二次世界大战之后，函数思想才全面进入中学数学课程。 ;中国也是这样。1949年以前，中国中学里的数学课程仍然少见函数的踪迹。到了20世纪50年代，中国数学教育全面学习前苏联，函数终于取得了中学数学课程中的核心地位。 《普通高中数学课程标准（实验）》必修课程：数学1函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）；数学4基本初等函数Ⅱ（三角函数）。;数学中的弱抽象方法;函数的演变;人们曾经为研究初等函数，用级数展开的办法。而一般形成的级数可扩大函数的对象，有些不再是初等函数。;由于把函数等同于解析表达式，甚至只是一个表示式。分段函数被称为伪函数。但是：;柯西认为：若对x每个值，都有确定的y值与之对应，则y即为x的函数。仍然把函数和解析式联系起来，只突破了仅用一个式子来表示的局限。 重大突破：德国数学家狄利克雷和黎曼认为能否用（一个或几个）解析式表达不是函数概念的本质。;Dirichlet函数：;为解释“对应”、“对应规则”，在有了集合论之后，人们又把函数定义为有序数对的集合｛（x,y）｝,其中，若（x,y）和（x,z）都在集合内，则y=z。 更一般化的函数概念把数也抽掉了。变量的变化范围不一定是一个区间，甚至不一定是数集，可以是任何一个集合。 更为普遍的函数概念是集合函数。设A是某些集合的集合（或成为集类），B也是类，若对A中的每一元素a有B种确定的元素b，那么就称在类A上定义了一个集合函数。当A和B都是单元素集，且这些元素都是实数时，这就是单变量的单值实变函数。作为“函数的函数”的泛函也含于集合函数中。;二 函数概念的三种定义;定义2 在某变化过程中，有两个变量x和y。如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系，y都有唯一确定的值和它对应，那么就把y称为x的函数；x称为自变量。（19世纪德国数学家黎曼和狄里赫勒分别给出） ;定义3 A和B是两个集合，如果按照某种对应关系，使A的任何一个元素在B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系称为从集合A到集合B的函数。（19世纪70年代德国数学家康托） ;定义4 从集合A到集合B的映射 称为从集合A到集合B的函数，简称为函数f。（高等代数课程） ;定义5 从集合A到集合B的函数f是满足以下条件的从A到B的一个关系： ⑴ ⑵如果 ，并且 ，那么 函数f记作 ;2 函数概念的三种定义;⑵函数的对应说定义 设A为非空实数集，如果存在一个对应规律f，对A中每个元x按照对应规律f，存在R中唯一的一个实数y与之对应，则称对应规律f是定义在A上的函数，表为 这一定义建立在“集合”和“对应”这两个基本概念上，是函数的现代定义。在高中阶段基本上就用这种定义。 目前，在中学数学课程标准中，函数定义在抽象的集合上，把函数看作映射的特殊情形。由于映射是用对应来定义的，所以“对应说”与“映射说”其实是一回事。;⑶函数的关系说定义 设f是集合X与集合Y的关系，即 。如果还满足 ，则 ，那么称f是集合X到集合Y的函数。 函数是一种特殊的关系。“关系说”是完全数学化的定义，也便于为计算机所接受，具有多方面的优越性。这种定义是函数的形式化定义。 然而，关系说过于形式化，抽去了函数关系生动的直观特征，看不出对应关系的形式，更没有解析式