黄冈市二轮复习专题：三角形中的不等和最值问题(讲).docVIP

三角形中的不等和最值问题 新课标下高考数学题中以三角形中的不等和最值问题为载体，不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理，往往还需要涉及基本不等式以及求函数值域；因而三角形中的不等和最值问题已成为高考命题的一个热点。纵观近几年高考三角形中的不等和最值问题的考查，重点放在正余弦定理与三角函数性质、基本不等式和向量知识的结合上；要求学生有较强的逻辑思维能力、三角恒等变形能力以及准确的计算能力，才能顺利解答。从实际教学来看，这部分知识综合性大，涉及知识面广，学生解决感觉较困难，分析原因，除了这类题目本身有一定难度，主要是学生的三角恒等变形能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨. 1 三角形中的不等关系 三角形中的不等关系主要有：1.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；2.任一角都大于00而小于1800,任意两角之和也是大于00而小于1800;3.设角A是一三角形的内角,则;4.在锐角三角形中, 任意两角之和也是大于900而小于1800;5.在同一三角形中大边对大角,大角对大边等等.运用好这些不等关系,是解决与三角形有关问题的关键. 例 1 【浙江省慈溪市、余姚市2015届高三上学期期中联考数学理试题】在中，“ ”是“ ” 的条件． 思路分析：由正弦定理知，由sinA＞sinB，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得结论． 2 三角形的不等与三角变换： 解三角形主要用到四点:一是正余弦定理;二是大边对大角,大角对大边;三是设角A是一三角形的内角,则;四是三角形的面积公式；用三恒等变形公式按目的进行变形化简是关键。 例 2【2014重庆高考理第10题】 已知的内角，面积满足 所对的边，则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 思路分析：首先注意到A+B+C=π,从而可知A-B+C=π-2B,C-A-B=2C-π结合诱导公式就可将已知等式转化为: ,再利用三角恒等变形公式可化为;然后再注意由三角形面积公式及正弦定理得： 及已知可求得; 所以有从而可获结论。 3 三角形中不等与向量 以向量为载体来描述三角形中的条件，然后解三角形，是近年来是常见高考题型，这种题目不仅要求学生熟悉应用正余弦理解三角形，同时还要求学生有不错的向量知识才能读懂题目，从而顺利作答． （1）求的；2）若，不是最小角，求． 对于三角形中的最值,不仅可能用到基本不等式来求解,很多时候也要用到三角函数的性质,或是求函数的最值的方法:如单调性法,导数法,图象法等等。 例4 【2014浙江高考理第17题】如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值 . 思路分析：首先设,则根据题意可将表示为x的函数得到:,然后再利用导数法求此函数的最大值即可。 综合上面的五种类型，解决三解形中的不等与最值问题，涉及到三角函数知识和较多的数学思想、方法；解三角形主要知识是正余弦定理，同时三角恒等变形能力以及计算能力和按照目的进行分析问题、解决问题的能力要求也是比较高的；不等关系和最值处理的常用方法:利用三角形中的有关结论转化为基本不等式来解决或是转化为函数的最值来加以解决。 数列中的最值问题 考向一 等差数列中的最值问题 1.讲高考 (1)考纲要求 理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式和前n项和公式、等差数列的性质，会求等差数列的前n项和的最值问题. (2)命题规律 等差数列前n项和的最值问题是高考考查的热点之一，考查形式为选择或填空小题，也可以是解答题的一个小题，是中档题. 等差数列前n项和的最值问题考查题型为求等差数列前n项和的最值或求取最值时对应的项数或已知取最值时的项数求公差d的取值范围. 例1【2014高考北京版理第12题】若等差数列满足，则当 时，的前项和最大. 例2【2014高考大纲理第18题】等差数列的前n项和为，已知，为整数，且. （I）求的通项公式； （II）设，求数列的前n项和. 2.讲基础 已知等差数列的，公差为则=是关于设是等差数列，是其前n项和，且，，则下列结论错误的是( ) A． B． C． D．和均为的最大值 等数列项和为，,则使取得最小值时的值为 ( ) A．4　 B.5　 C.6　 D.7 【答案】B 【例2】【浙江省嘉兴市第一中学2015届高三上学期期中考试，理7】已知等差数列的前项和为且满足则中最大的项为（ ） A．