高等代数课件5.pptVIP

§6.5 线性子空间 从而有 ③ 而秩(Bj)＝r，∴ ③ 有非零解，故有不全为零的数 故　　　　　　为　　　　　　的极大无关组， 所以　　　　　　　 的维数＝r＝秩(A). 线性相关. §6.5 线性子空间 则向量组　　　　　 与矩阵A的列向量组具有相同 线性相关性.　所以可对矩阵A作初等行变换化阶梯 阵来求向量组　　　　　 的一个极大无关组，从而 求出生成子空间　　　　　　　的维数与一组基. 注： 由证明过程可知，若　　　　　 为V的一组基， §6.5 线性子空间 练习 设V为数域P上的线性空间，　　　　　为V 的一组基，　　　　　　且 求　　　　　 的一组基，并把它扩充为V的一组基. §6.5 线性子空间 　　令　　　　　　　　对A作初等行变换 解： §6.5 线性子空间 则　　　　　　线性无关，从而为V的一组基. 又 由B知，A的列向量线性无关，从而　　　　 线性无关. 故　　　　 为　　　　　　的一组基. §6.5 线性子空间 为 V 的一组基．即在 V 中必定可找到 n－m 个向量 设W为 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间， 3、（定理4） 为W的一组基，则这组向量必定可扩充 ，使 为 V 的一组基． 扩基定理 证明：对n－m作数学归纳法． 当 n－m＝0时，即　n＝m， 定理成立． 就是V的一组基. 假设当n－m＝k时结论成立. §6.5 线性子空间 因 n－(m＋1)＝(n－m)－1＝(k＋1)－1＝k， 下面我们考虑 n－m＝k＋1 的情形． 必定是线性无关的． 　既然　　　　　 还不是V的一组基，它又是线性无关的，那么在V中必定有一个向量　　 不能被 线性表出，把它添加进去，则 由定理3，子空间 　　　　　　 是m＋1维的． 可以扩充为整个空间V的一组基．由归纳原理得证. 由归纳假设， 的基 §6.5 线性子空间 它扩充为P4的一组基，其中 例8 求 　　　　　　　的维数与一组基，并把 解：对以　　　　　　　为列向量的矩阵A作 初等行变换 §6.5 线性子空间 由B知，　　　　为 　　　　　　　的一个极大 故，维　　　　　　　　 ＝3， 就是 　 的一组基. 无关组. §6.5 线性子空间 则　　　　　 线性无关，从而为P4的一组基. §6.5 线性子空间 * §6.5 线性子空间 一、线性子空间 二、生成子空间 §6.5 线性子空间 §6.5 线性子空间 一、线性子空间 1、线性子空间的定义 设V是数域P上的线性空间，集合 若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间． 注：① 线性子空间也是数域P上一线性空间，它也 ② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的 有基与维数的概念. 维数. §6.5 线性子空间 2、线性子空间的判定 ，若W对于V中两种运算封闭，即 则W是V的一个子空间． 定理：设V为数域P上的线性空间，集合 推论：V为数域P上的线性空间, 则 W是V的子空间 §6.5 线性子空间 ∵ ，∴ . 且对 ， 由数乘运算 封闭，有 ，即W中元素的负元素就是 它在V中的负元素，4）成立． 就是V中的零元， 3）成立． 由于 ，规则1）、2）、5）、6）、7）、8） 是显然成立的．下证3）、4）成立． 由加法封闭，有　　　　　　　 ,即W中的零元 证明：要证明W也为数域P上的线性空间，即证W中 的向量满足线性空间定义中的八条规则． §6.5 线性子空间 例2　设V为所有实函数所成集合构成的线性空间,则R[x]为V的一个子空间． 例3　P[x]n是P[x]的的线性子空间． 例1　设V为数域P上的线性空间，只含零向量的 子集合　　　　是V的一个线性子空间，称之为V的 零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间. 　 这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的 子空间称为非平凡子空间． 　 §6.5 线性子空间 的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数 ① (＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)， ； 例4　n元齐次线性方程组 (＊) 注 ② (＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基. 空间，称W为方程组(＊)的解空间． 量乘法构成的线性空间是 n 维向量空间 Pn 的一个子 §6.5 线性子空间 例5　判断Pn的下列子集合哪些是子空间： 解：W1 、W3是Pn的子空间， W2不是Pn的子空间. 若为P