追爱的数学模型.pptVIP

1.数模女汉子选择追求者问题 虽然是数模女汉子，但对找到自己心中的白马王子，渴望和普通女生一样的浪漫，找到自己一生的幸福是每个人的追求。 但是面对追求者们，女生应该是选择还是拒绝，她的策略是社么？ 怎样才能以最大的可能找到自己的“理想的他” 呢？ 1.1.问题简化 假设一个女生想在一段时间中和一位男生开始一段感情，并且在这段时间中有N 个男生追求这位女生。 这N 个男生是以不同的先后顺序来追求这位女生。 在适合这个女生的意义上，假设追求者中任何两个男生都是可以比较的，而且没有相等的情况。 这样我们对这N 个男生从1 到N 进行编号，其中数字越大表示越适合这个女生。这样在这段时间中，女生的Mr. Right 就是男生N 了。 现在问题变成面对这N 个追求者，应该以怎样的策略才能使得在第一次选择接受的男生就是N 的可能性最大。 1.2.模型假设 1、N 个男生以不同的先后顺序向女生表白，即在任一时刻不存在两个或两个以上的男生向这位女生表白的情况的发生，而且任何一种顺序都是完全等概率的。 2、面对表白后的男生，女生只能做出接受和拒绝两种选择，不存在暧昧或者其它选择。 3、任一时刻，女生最多只能和一位男生谈恋爱，不存在脚踏多船的情况。 4、已经被拒绝的男生不会再次追求这位女生。 1.3.问题分析 简单策略：如果一旦有男生向女生表白，女生就选择接受。这种策略下显然女生以1/N 的概率找到自己的Mr. Right 。当N 比较大的时候，这个概率就很小了，显然这种策略不是最优的。 复杂策略：对于最先表白的M 个人，无论女生感觉如何都选择拒绝；以后遇到男生向女生表白的情况，只要这个男生的编号比前面M 个男生的编号都大，即这个男生比前面M 个男生更适合女生，那么女生选择接受，否则选择拒绝。 以N=3 为例 三个男生追求女生，共有六种排列方式：1 2 3；1 3 2；2 1 3；2 3 1；3 1 2；3 2 1。如果女生采用上述最简单的策略，那么只有最后两种排列方式选择到Mr. Right ，概率为2/3!=1/3 。 如果女生采用上面我们提出的策略，这里我们取M=1 ，即无论第一个人是否优秀，女生都选择拒绝。然后对于之后的追求者，只要他比第一个男生更适合女生就选择接受，否则拒绝。 基于这种策略，“1 3 2 ”、“2 1 3 ”、“ 2 3 1 ”这三种排列顺序下女生都会在第一次做出接受的选择时遇到“3 ”，这样我们就把这种概率增大到3/3!=1/2 。 现在我们的问题就归结为，对于一般的N ，什么样的M 才会使这种概率达到最大值呢？（在这种模型中，前面M 个男生就被称为“炮灰垫背”，无论他们有多么优秀都要被拒绝） 1.4.模型建立 在这一部分中，根据上面的模型假设，我们先找到对于给定的M 和N(1MN) ，女生选择到Mr. Right 的概率的表达式。 1 到N 个数字进行排列共有N! 种 可能。当数字N 出现在第P 位置（MP=N ），如果使上述策略在第一次选择接受时遇到的是N ，排列需要满足下面两个条件：1、 N 在第P 位置；2、 从M+1 到P-1 位置的数字要比前M 位置的最大数字要小?。 例如：N=9，M=3，P=7，M+1=4,P-1=6,符合：365124978，不符合： 365174928 运用数学中排列组合的知识，不难知道符合上面两个条件的排列共有： 从8（N-1)个（去掉9N）数中选择6(P-1)个数放在9N的位置7(P)的前面（CN-1P-1)，6个数中最大的6的位置只能在前3(M)中选，剩下的5个（P-2）个位置排列，后面的2个（N-P)排列。 这样对于给定的M 和N ，P 可以从M+1 到N 变化，求和化简后得到给定M 和N 共有种序列符合要求。由此得到女生选择接受时遇到Mr. Right 的概率为 1.5.模型求解 这一部分中我们求解使这个表达式取得最大值时M 的值。 记函数 且设自变量取值为M 时，函数取得最大值。 所以M 应满足 我们知道，当x0, In(1+x) x? ; ?? 当x0时, In(1+x) ~ x? 。 所以由左不等式 所以： 当N 比较大时，同理由右不等式可得M ≈N/e ，? 以上e 为自然对数。若记[x] 为不大于x 的最大整数，由以上推导我们可猜测当M 取[N/e] 或[N/e]+1 时，该表达式取得最大值。 1.6.结果分析 由上述分析可以得到如下结论：为了使一个女生以最大的概率在第一次选择接受男生时遇到的正是Mr. Right ，女生应该采用以下的策略： 拒绝前M=[N/e] 或者[N/e]+1 个追求者，当其后的追求者比前M 个追求者更适合则接受，否则拒绝。 假设