二次函数恒正或恒负的条件.PDF

二次函數恆正或恆負的條件 建國中學‧林信安 老師 2-4-4 二次函數恆正或恆負的條件 2 2 設二次函數f (x)=ax +bx+c ，a0 ，D=b 4ac 二次不等式解的幾何解釋 2 2 b 2 4acb2 b 4acb2 考慮二次函數f (x)=ax +bx+c 的圖形：f (x)=ax +bx+c=a(x+2a) + 4a ，頂點為(2a, 4a ) 2 (a)解ax +bx+c0 2 在圖形上找那些實數x 使得其所對應的點(x ,ax +bx+c)在x 軸的上方。 解ax2+bx+c0 2 在圖形上找那些實數x 使得其所對應的點(x ,ax +bx+c)在x 軸的下方。 (b)二次函數恆正與恆負的條件 對於所有的實數x ，f (x)0 （恆正） 圖形上的每一點的y 坐標均大於0 （圖形在x 軸上方） a0 且D0 （開口向上，與x 軸無交點） 對於所有的實數x ，f (x)0 （恆負） 圖形上的每一點的y 坐標均小於0 （圖形在x 軸下方） a0 且D0 （開口向下，與x 軸無交點） 對於所有的實數x ，f (x)0 （不為負） 圖形上的每一點的y 坐標均大於等於0（圖形不在x 軸下方） a0 且D0 （開口向上，與x 軸無交點或相切） 對於所有的實數x ，f (x) 0 （不為正） 圖形上的每一點的y 坐標均小於等於0 （圖形不在x 軸上方） a0 且D0 （開口向下，與x 軸無交點或相切） 1 例題1 2 設f (x)=(3a)x +ax2a0 對於所有的實數x 都成立，請求出a 的範圍。 Ans ：a0 例題2 2 2 不等式x +2(m+2)x+2m 0 無解，求m 的範圍。 Ans ：m2+2 2 或m22 2 例題3 2 2 x R ，f (x)=x (k3)x+4 ，g(x)=x +(k1)x+(k2) ，f (x)恆在g(x)上方時，求k 範圍。 Ans ：2k4 練習1 y 2 y =f (x)=kx +2x+k 之圖形如右，求實數k 的範圍？ x Ans ：k1 練習2 2 x +2ax+1 a 為實數，且對於所有實數x ，不等式 2  5恆成立，則求a 值之範圍。 3x 2x+3 Ans ：19a9 練習3 2 2 令g(x)= x +2(3m1)x(8m +17) ，m 為實數，求使得g(x)0 無解之m 的範圍。 Ans ：2m8