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龙贝格积分法求解风振响应方程 精仪学院 马金玉 学号：1012202030 1　结构顺风向风振响应的数学模型及理论解 关于结构顺风向风振响应的理论解。为便于说明问题,这里仅以单自由度线性结构模型为例给出该理论解。设有如下图所示的单自由度结构,受到风荷载作用。这时,质体M的运动方程如下 （1） 将上式改写为 （2） 式中,ζ0为阻尼比(本文暂不考虑气动阻尼的影响),ω0为结构的固有频率,且 其中,F(t)=A·w(h,t), w(h,t)为高度h处的脉动风压,A为质体M的迎风面积。所以,f(t)又可以表达为f(t)=（A/M）·w(h,t)。 由于脉动风压w(h,t)具有随机性,所以质体M的位移响应x(t)也具有随机性。按照目前的结构风工程理论,将w(h,t)作为零均值高斯平稳过程处理。设其功率谱密度函数为Sw(ω),根据线性结构随机振动理论,质体M位移响应x(t)的根方差可由下式求出 （3） 这就是该单自由度线性结构顺风向位移响应的理论解。其中 （4） 按照Davenport教授提出的风速谱,可以求得与此风速谱对应的脉动风压谱Sw(ω)为 （5） 其中,S0和R为与具体风环境有关的常数。上式可理解为是单边谱,所以位移响应根方差σx的计算式又可以表达为 （6） 这就是上图所示结构基于Davenport风谱的顺风向位移响应计算式。由于式(5)给出的风压谱 Sw(ω)的复杂性,目前还无法求出式(6)位移响应的封闭解。 2.龙贝格法求解理论积分方程 式(6)中积分式的难点在于它是在无穷区间上的积分,收敛性和计算精度都难以控制。为进行数值积分,首先必须对被积函数进行分析,从而判积分的收敛性。考察式(3)的解可以看出,其核心是求|H(iω)|2和Sw(ω)两个函数乘积的积分,也就是求这两个函数图形相乘后所得图形的面积。做出|H(iω)|2和Sw(ω)图形以及|H(iω)|2Sw(ω)的图形,如图2~4所示。由图2~4容易看出,该积分是收敛的。事实上,由函数|H(iω)|2Sw(ω)的表达式也可以看出,在ω=0处,函数为有界值;当ω→∞时,函数值趋于0;而在[0,∞)内,函数是光滑的且无间断点,所以积分是收敛的。 图2 |H(iω)|2的曲线 图3 Sw(ω)的曲线 图4 |H(iω)|2Sw(ω)的曲线 为保证数值积分能够达到所需的精度,本文通过一系列的积分变换,将式(6)中在无穷域上的积分变换为在[0,1]区间内的积分。为此,首先在式(6)中令u=ω/ω0,经整理后将式(6)变换为如下形式 （7） 其中 （8） 再对式(8)进行变换,将其变换为如下在[0,1]区间内的积分 （9） 式中 y=b2/(b2+u2),　D/4=1/2[b2]7/3,　D0=1,　D1=a2b2-2[1/b2+1],　D2=[1/b2+1]2-a2/b2。 其中a2=(2ζ0)2, b2=1/Rω02。 由此可见,计算式(6)的解可归结为计算式(9)中的积分式。由于一般情况下ζ01,可以证明,式(9) )中的积分式在[0,1]区间内无间断点,所以式(9)中的积分仍是收敛的。然而,若代入具体数值,却可以发现,虽然该被积函数在[0,1]内光滑且无间断点,但却有一个很陡的极值点。设该极值点为ym,通过对该被积函数应用函数极值必要条件,可以求出 （10） 据此将积分区间[0,1]划分为[0,ym]和[ym,1]两个子区间,则不难得出,在这两个子区间中被积函数均为单调光滑的,对于数值积分非常有利。 本文采用龙贝格求积法,该方法在梯形求积法的基础上采用了一种可以加速收敛的外推技巧,因而将这类求积法推广到高阶精度;该方法的特点是效率高(函数求值的次数较少)且可达到任意希望的精度。因此,对于