课本例题过点P（1，2）的直线与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B.docVIP

一题多解、变式与引申 普通高中数学课程标准指出:倡导积极主动,勇于探索的学习方式,设立数学探究等学习活动,为学生形成积极主动的,多样的学习方式进一步创造有利的条件,让学生体验数学发现和创造的历程,发展他们的创新意识与能力.增强学习数学的兴趣。笔者认为在教学中将一些好的例题习题进行一题多解,变式与引申应成为数学探究教学的重要渠道. 例题：过点P（1，2）的直线与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程。 1、探究问题的不同解法 分析：从问题入手，先回忆直线方程的几种形式，每种形式分别在何种条件下使用，同时提示学生注意要易于将△AOB的面积表示出来。 思路1：突出条件直线过点P（1，2），可设直线的点斜式方程求解。 解法1：设直线l的斜率为k，由条件知k存在且k＜0， 因此l的方程为：y－2＝k(x－1) 令x＝0，得y＝2－k，令y＝0，得x＝1－ 则A（1－，0），B（0，2－k） ∴S△AOB＝︱OA︱︱OB︱＝︱1－︱︱2－k︱ ＝︱(1－)(2－k）︱ ＝︱－k＋＋4︱ ≥︱＋4︱＝4 当且仅当－k＝即k＝－2时，取“＝”， ∴△AOB的面积最小为4，此时直线l的方程为y－2＝－2(x－1) 即2x＋ y－4＝0 评注：解法1是最基本的解法，用基本不等式求最值时要注意验证三个条件（一“正”，二“定”，三“相等”）是否满足。当获得问题的一种解法后，不要为一时的收获而“沾沾自喜”，使思维停滞不前，要对自己的思维进行积极的反思。若对题中的条件从不同的角度进行思考，又可得以下两种思路。 思路2：突出条件直线与x，y轴正半轴分别交于A、B两点，可设截距式方程，得出a，b的关系后，在用不等式求面积的最小值时又有不同的解法。 解法2：设点A（a，0），B（0，b）， 故直线方程为，由条件知，a＞1，b＞2 由于点P（1，2）在直线上，所以有： 由基本不等式，得≥ab≥8. 于是，S△AOB＝ab≥4，当且仅当，即a＝2，b＝4时，取“＝”. 因此，△AOB的面积最小为4，此时直线l的方程为， 即2x＋ y－4＝0 解法3：同解法2得，，从而 ∴　S△AOB＝ab＝ ＝ ∵b＞2 ∴b－2＞0，＞0，∴b－2＋≥＝4 ∴　S△AOB≥（4＋4）＝4 当且仅当b－2＝，即b＝4时，取“＝”.此时a＝2 因此，△AOB的面积最小为4，此时l的方程为即2x＋y－4＝0 解法4：同解法2得，， 令，，则， ∴S△AOB＝ab＝＝ ＝＝ ∵≤1，∴≥4，即S≥4， 当且仅当＝±1即时，取“＝”.此时a＝2，b＝4 故△AOB的面积最小为4，此时直线l的方程为即2x＋ y－4＝0 思路3：可以以角为变量，用角将所要用的量表示出来，转化为三角问题。 解法5：如图1,自点P作PM⊥x轴，作PN⊥y轴，垂足分别为M，N，并设∠PAM＝θ（＝∠BPN），易知θ为锐角，则BN＝tanθ,AM＝2cotθ,易得， S△AOB＝S矩形OMPN＋S△PAM＋S△BPN ＝2＋×2×2cotθ＋×1×tanθ ＝2＋2cotθ＋tanθ≥2＋＝4 当且仅当2cotθ＝tanθ，即tanθ＝2时，取“＝”，此时直线l的斜率k＝tan(π－θ)＝－2，可得直线方程为y－2＝－2(x－1)即2x＋ y－4＝0 评注：解法2，3，4都是利用直线的截距式，但在求面积的最小值时所用的方法各有千秋，其中解法2是课本的解法，直接使用均值不等式求最值；解法3用的是变量代换的方法，将面积表达式中两个变量转化为只含有一个变量，这也是我们解决问题常用的方法；解法4用的是三角换元求最值；而解法5设角变量的方法技巧性强，解决某些问题比较方便，但其适用范围小，用设斜率或截距的方法才是解决这一类问题的通法。从不同的角度审视该题并进行一题多解，可以培养学生思维的广阔性。 2、探究变式 2.1变换条件 解题后，不能仅仅停留在表面上，要对问题展开广泛的思考与讨论，尽可能地从条件与结论的变换中得出更多的相关问题。 问题1: 过点P（1，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求直线l的方程。 问题2: 过点P（1，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当︱PA︱与︱PB︱之积最小时，求直线l的方程。 问题3: 过点P（1，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当︱PA︱与︱PB︱之和最小时，求直线l的方程。 以上三题都可以用与例题类似的某些方法解决,此处从略. 问题4:若将条件“l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点”，改为“l与x轴，y轴分别交于A，B两点”,则例题该如何解决? 分析:画出草图可知直线l并不是与坐标轴