第八章弯曲应力与弯曲变形.docVIP

第八章 弯曲应力与弯曲变形 前面曾讨论了弯曲内力计算、内力图的绘制和平面几何性质，本章将解决弯曲的强度和刚度问题。 【能力目标、知识目标与学习要求】 本章学习目标，知识目标和学习要求：本章学习内容要求学生熟练掌握弯曲强度计算的方法以及强度条件的应用，熟悉简单荷载作用下，用叠加法计算弯曲变形。 第一节 弯曲应力 本节将在第七章的基础上，进一步研究梁的横截面上内力的分布情况，即研究横截面上各点的应力。通过研究，找出应力的分布规律，推导出应力的计算公式，从而解决梁的强度计算问题。本节将分别讨论正应力和剪应力在横截面上的分布规律及其计算。 一、弯曲应力的种类 由轴向拉伸与压缩和圆轴扭转可知，应力是与内力的形式相联系的，它们的关系是：应力为横截面上分布内力的集度。梁弯曲时，横截面上一般是产生两种内力——剪力FQ和弯矩M（图8-1），这些内力皆是该截面内力系合成的结果。由于剪力FQ是和横截面相切的内力，所以它是与横截面相切的剪应力的合力；而弯矩M则是作用面与横截面垂直的力偶矩，故它是由与横截面垂直的正应力合成的结果。总之，由于梁的横截面上一般同时存在弯矩M和剪力FQ，所以，梁的横截面上一般既有正应力，又有剪应力。 二、弯曲正应力计算 1、纯弯曲时梁横截面上的正应力： 如图8-2所示的梁AB，CD段内只有弯矩而无剪力，这种情况称为纯弯曲。而AC和DB段内各横截面上既有剪力还有弯矩．这种情况称为横力弯曲(剪切弯曲)。 在推导梁的正应力公式时，为了便于研究，我们从“纯弯曲”的情况进行推导。 （1）实验观察与分析： 为了便于观察，采用矩形截面的橡皮梁进行试验。实验前，在梁的侧面画上一些水平的纵向线pp、ss等和与纵向线相垂直的横向线mm、nn等(图8-3a)，然后在对称位置上加集中荷载F(图8-3b)。梁受力后产生对称变形，且可看到下列现象： 1）变形前互相平行的纵向直线(pp、ss等)，变形后均变为互相平行的圆弧线(、等)，且靠上部的缩短，靠下部的伸长。 2）变形前垂直于纵向线的横向线(mm、nn等)，变形后仍为直线()，且仍与纵向曲线正交，但相对转过一个角度。 根据上述实验现象，我们可作如下分析： 根据现象2)，可认为mm、nn等均代表梁的截面，mm、nn等代表变形前的横截面，等代表这些横截面变形后的位置。由于变形后等仍为直线，且仍与纵向曲线、等正交。因而可推断：梁的横截面变形前为一平面，变形后仍为—平面，横截面于变形后仍与梁的轴线垂直。此推断称为平面假设。 根据现象1)，可将梁看成为由一层层的纵向纤维组成，由平面假设及横截面于变形后仍与梁的轴线垂直可推知：梁变形后，同一层的纵向纤维的长度相同，即同层各条纤维的伸长(或缩短)相同。可以认为梁各层纤维间没有挤压作用，各条纤维只受到轴向拉伸或压缩，处于单向受力状态，称为单向受力假设。 由于上部各层纵向纤维缩短，下部各层纵向纤维伸长，而梁的变形又是连续的，因此中间必有一层既不缩短也不伸长，此层称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴（图8-4）。 （2）正应力公式推导： 公式的推导思路是：先找线应变的变化规律(因正应力的变化规律难以直接找到)，通过胡克定律把线应变与正应力联系起来，再通过静力平衡条件把应力与内力联系起来，从而导出正应力的计算公式。其过程与推导圆轴扭转的剪应力公式相似，即需综合考虑几何、物理和静力学三方面条件。 1）变形几何条件： 我们从梁的纯弯曲段内截取长为dx的微段(图8-5a)。根据上述各项分析，此微段梁变形后的情况如图8-5b所示，即：左、右两侧面仍为平面，但相对转了一个角度；上部各层缩短，下部各层伸长，中间某处存在一不缩不伸的中性层。 为了研究上的方便，在横截面上选取一坐标系，取梁轴为x轴，竖向对称轴为y轴，中性轴为z轴。至于中性轴在横截面上的具体位置尚待确定。 将立体图形（8-5b）转化为平面图形（8-5c），设梁纯弯曲变形后dx梁段两相邻横截面延长交于点O，O即为中性层O1O2的曲率中心，为中性层O1O2的曲率半径，为两横截面夹角。研究距离中性层为y处的任一纤维层的变形。 变形前， 变形后， 所以，的线应变为： 即， 对于一个给定截面来说是常量。式(8-1)就是线应变的变化规律，表明纵向纤维的线应变与它到中性层的距离y成正比。 2）物理条件： 如前所述，各纵向纤维间互不挤压，各条纤维均处于单向受力状态，所以横截面上只有正应力。当正应力不超过材料的比例极限时，由拉（压）胡克定律得横截面上坐标为y处各点的正应力为： 对于指定截面为常数。 式(8-2)表明梁横截面上正应力分布规律：横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离y成正比。分布规律如图8-6所示。横截面上的正应力沿截面高度按线性规律变化，在中性轴上正应力等于零，上、下边缘处最大，在距中性轴等距离的同一